三角学示例

$\cos (105)$

解题步骤 1

要将度数转换为弧度，请乘以 $\frac{π}{180 °}$ ，因为一个整圆的弧度为 $360 °$ 或 $2 π$ 。

解题步骤 2

$\cos (105)$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- \cos (75) \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.2

将 $75$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$- \cos (30 + 45) \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.3

使用两角和的公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 。

$- (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.4

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.5

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.6

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \sin (45)) \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.7

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8

化简 $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ 。

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解题步骤 2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 2.8.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$- (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.1.1.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.1.2

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 2.8.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 3

乘以 $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{π}{180}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{π}{180}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

$- \frac{π (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{180 \cdot 4}$ 弧度

解题步骤 3.2

将 $180$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{π (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{720}$ 弧度

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