三角学示例

$\sin (3 θ) = - 1$

解题步骤 1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $θ$ 。

$3 θ = \arcsin (- 1)$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

$\arcsin (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{2}$ 。

$3 θ = - \frac{π}{2}$

解题步骤 3

将 $3 θ = - \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.1

将 $3 θ = - \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

解题步骤 3.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$θ = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 3.3.2

乘以 $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{π}{2}$ 。

$θ = - \frac{π}{3 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$θ = - \frac{π}{6}$

解题步骤 4

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$3 θ = 2 π + \frac{π}{2} + π$

解题步骤 5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 5.1

从 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$3 θ = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

解题步骤 5.2

得出的角 $\frac{3 π}{2}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 共边。

$3 θ = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 5.3

将 $3 θ = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $3 θ = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$θ = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$θ = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3.3.2.2

约去公因数。

$θ = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3.3.2.3

重写表达式。

$θ = \frac{π}{2}$

解题步骤 6

求 $\sin (3 θ)$ 的周期。

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解题步骤 6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2

使用周期公式中的 $3$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 3 |}$

解题步骤 6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$\frac{2 π}{3}$

解题步骤 7

将 $\frac{2 π}{3}$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{2 π}{3}$ 加到 $- \frac{π}{6}$ 以求正角。

$- \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.2

要将 $\frac{2 π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6}$

解题步骤 7.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 7.3.1

将 $\frac{2 π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6}$

解题步骤 7.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 7.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{6}$

解题步骤 7.5

化简分子。

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解题步骤 7.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 π - π}{6}$

解题步骤 7.5.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{6}$

解题步骤 7.6

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 7.6.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (π)}{6}$

解题步骤 7.6.2

约去公因数。

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解题步骤 7.6.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 π}{3 \cdot 2}$

解题步骤 7.6.2.2

约去公因数。

$\frac{3 π}{3 \cdot 2}$

解题步骤 7.6.2.3

重写表达式。

$\frac{π}{2}$

解题步骤 7.7

列出新角。

$θ = \frac{π}{2}$

解题步骤 8

$\sin (3 θ)$ 函数的周期为 $\frac{2 π}{3}$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $\frac{2 π}{3}$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

合并答案。

$θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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