三角学示例

$y = \csc (\frac{π x}{2})$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

对于任意 $y = \csc (x)$ ，垂直渐近线均出现在 $x = n π$ ，其中 $n$ 为一个整数。使用 $y = c s c (x)$ 、 $(0, 2 π)$ 的基本周期，求 $y = \csc (\frac{π x}{2})$ 的垂直渐近线。将余割函数的变量设为 $b x + c$ ，使得 $y = a \csc (b x + c) + d$ 等于 $0$ ，以求 $y = \csc (\frac{π x}{2})$ 的垂直渐进线出现的坐标位置。

$\frac{π x}{2} = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

将分子设为等于零。

$π x = 0$

解题步骤 1.2.2

将 $π x = 0$ 中的每一项除以 $π$ 并化简。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $π x = 0$ 中的每一项都除以 $π$ 。

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{π}$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

用 $0$ 除以 $π$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.3

将余割函数 $\frac{π x}{2}$ 的变量设为 $2 π$ 。

$\frac{π x}{2} = 2 π$

解题步骤 1.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.4.1

等式两边同时乘以 $\frac{2}{π}$ 。

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π)$

解题步骤 1.4.2

化简方程的两边。

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解题步骤 1.4.2.1

化简左边。

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解题步骤 1.4.2.1.1

化简 $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.2.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π)$

解题步骤 1.4.2.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π)$

解题步骤 1.4.2.1.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1.1.2.1

从 $π x$ 中分解出因数 $π$ 。

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (2 π)$

解题步骤 1.4.2.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π)$

解题步骤 1.4.2.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{2}{π} (2 π)$

解题步骤 1.4.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简 $\frac{2}{π} (2 π)$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$x = \frac{2}{π} (π \cdot 2)$

解题步骤 1.4.2.2.1.1.2

约去公因数。

$x = \frac{2}{π} (π \cdot 2)$

解题步骤 1.4.2.2.1.1.3

重写表达式。

$x = 2 \cdot 2$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = 4$

解题步骤 1.5

$y = \csc (\frac{π x}{2})$ 的基期将出现在 $(0, 4)$ ，其中 $0$ 和 $4$ 为垂直渐近线。

$(0, 4)$

解题步骤 1.6

求周期 $\frac{2 π}{| b |}$ 以求出垂直渐近线出现的位置。垂直渐近线每半个周期出现一次。

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解题步骤 1.6.1

$\frac{π}{2}$ 约为 $1.57079632$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

解题步骤 1.6.2

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \frac{2}{π}$

解题步骤 1.6.3

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.3.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

解题步骤 1.6.3.2

约去公因数。

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

解题步骤 1.6.3.3

重写表达式。

$2 \cdot 2$

解题步骤 1.6.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4$

解题步骤 1.7

$y = \csc (\frac{π x}{2})$ 的垂直渐近线出现在 $0$ 、 $4$ 和每一个 $2 n$ 处，其中 $n$ 是一个整数。这是周期的二分一。

$x = 2 n$

解题步骤 1.8

余割只有垂直渐近线。

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线： $x = 2 n$ ，其中 $n$ 是一个整数

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线： $x = 2 n$ ，其中 $n$ 是一个整数

解题步骤 2

使用 $a \csc (b x - c) + d$ 的形式求用于求振幅、周期、相移和垂直位移的变量。

$a = 1$

$b = \frac{π}{2}$

$c = 0$

$d = 0$

解题步骤 3

因为函数 $c s c$ 的图像没有最大值或最小值，所以不存在振幅值。

振幅：无

解题步骤 4

求 $\csc (\frac{π x}{2})$ 的周期。

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解题步骤 4.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2

使用周期公式中的 $\frac{π}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

解题步骤 4.3

$\frac{π}{2}$ 约为 $1.57079632$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

解题步骤 4.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \frac{2}{π}$

解题步骤 4.5

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

解题步骤 4.5.2

约去公因数。

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

解题步骤 4.5.3

重写表达式。

$2 \cdot 2$

解题步骤 4.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4$

解题步骤 5

使用公式 $\frac{c}{b}$ 求相移。

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解题步骤 5.1

函数的相移可通过 $\frac{c}{b}$ 计算。

相移： $\frac{c}{b}$

解题步骤 5.2

替换相移方程中 $c$ 和 $b$ 的值。

相移： $\frac{0}{\frac{π}{2}}$

解题步骤 5.3

将分子乘以分母的倒数。

相移： $0 (\frac{2}{π})$

解题步骤 5.4

将 $0$ 乘以 $\frac{2}{π}$ 。

相移： $0$

解题步骤 6

列出三角函数的性质。

振幅：无

周期： $4$

相移：无

垂直位移：无

解题步骤 7

三角函数可通过振幅、周期、相移、垂直位移和相关点来绘制出其图象。

垂直渐近线： $x = 2 n$ ，其中 $n$ 是一个整数

振幅：无

周期： $4$

相移：无

垂直位移：无

解题步骤 8

三角学 示例

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