三角学示例

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 之间）之间的 $\sin (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ 和 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 三点之间的三角形。

取反： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

邻边： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{2^{1}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{2}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{2}{4} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 (1)}{4} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1}{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.6.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.6.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2}}}$

解题步骤 2.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2}{4}}$

解题步骤 2.8

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 (1)}{4}}$

解题步骤 2.8.2

约去公因数。

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解题步骤 2.8.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.8.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.8.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.9

化简表达式。

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解题步骤 2.9.1

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{1 + 1}{2}}$

解题步骤 2.9.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.9.3

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\sqrt{1}$

解题步骤 2.9.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$1$

解题步骤 3

因为 $\sin (θ) = \frac{取反}{斜边}$ ，所以 $\sin (θ) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}$

解题步骤 4

用 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 除以 $1$ 。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5

求近似值。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.70710678$

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