三角学示例

$\tan (105)$

解题步骤 1

要将度数转换为弧度，请乘以 $\frac{π}{180 °}$ ，因为一个整圆的弧度为 $360 °$ 或 $2 π$ 。

解题步骤 2

$\tan (105)$ 的准确值为 $- 2 - \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$- \tan (75) \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.2

将 $75$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$- \tan (30 + 45) \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.3

使用两角和公式。

$- \frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.4

$\tan (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.5

$\tan (45)$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.6

$\tan (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \tan (45)} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.7

$\tan (45)$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8

化简 $- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ 。

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解题步骤 2.8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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解题步骤 2.8.1.1

将 $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.1.2

合并。

$- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.2

运用分配律。

$- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3}) + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.3.1

约去公因数。

$- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3}) + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.3.2

重写表达式。

$- \frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.5

化简分母。

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解题步骤 2.8.5.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.5.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.5.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.5.3.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (\frac{- \sqrt{3}}{3})} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.5.3.2

约去公因数。

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (\frac{- \sqrt{3}}{3})} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.5.3.3

重写表达式。

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.6

将 $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ 。

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.7

将 $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ 。

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.8

使用 FOIL 方法来展开分母。

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.9

化简。

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.10

化简分子。

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解题步骤 2.8.10.1

重新排序项。

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.10.2

对 $3 + \sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.10.3

对 $3 + \sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.10.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.10.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.11

将 ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ 。

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.12

使用 FOIL 方法展开 $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 2.8.12.1

运用分配律。

$- \frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.12.2

运用分配律。

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.12.3

运用分配律。

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.13

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.8.13.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.13.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.13.1.2

将 $3$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.13.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.13.1.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.13.1.5

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.13.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.13.2

将 $9$ 和 $3$ 相加。

$- \frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.13.3

将 $3 \sqrt{3}$ 和 $3 \sqrt{3}$ 相加。

$- \frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.14

约去 $12 + 6 \sqrt{3}$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.14.1

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.14.2

从 $6 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $6$ 。

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.14.3

从 $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ 中分解出因数 $6$ 。

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.14.4

约去公因数。

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解题步骤 2.8.14.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.14.4.2

约去公因数。

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.14.4.3

重写表达式。

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{1} \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.14.4.4

用 $2 + \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$- (2 + \sqrt{3}) \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.15

运用分配律。

$(- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}) \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 2.8.16

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$(- 2 - \sqrt{3}) \cdot \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 3

运用分配律。

$- 2 \frac{π}{180} - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) (\frac{π}{180}) - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 4.2

从 $180$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 90}) - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 4.3

约去公因数。

$2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 90}) - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 4.4

重写表达式。

$- 1 \frac{π}{90} - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ 弧度

解题步骤 5

组合 $\frac{π}{180}$ 和 $\sqrt{3}$ 。

$- 1 \frac{π}{90} - \frac{π \sqrt{3}}{180}$ 弧度

解题步骤 6

将 $- 1 \frac{π}{90}$ 重写为 $- \frac{π}{90}$ 。

$- \frac{π}{90} - \frac{π \sqrt{3}}{180}$ 弧度

三角学 示例

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