三角学示例

$\arctan (\tan (\frac{11 π}{12}))$

解题步骤 1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$\arctan (- \tan (\frac{π}{12}))$

解题步骤 2

将 $\frac{π}{12}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\arctan (- \tan (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}))$

解题步骤 3

应用角度恒等式的差。

$\arctan (- \frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})})$

解题步骤 4

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\arctan (- \frac{1 - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})})$

解题步骤 5

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\arctan (- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})})$

解题步骤 6

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\arctan (- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (\frac{π}{6})})$

解题步骤 7

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\arctan (- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})$

解题步骤 8

化简 $- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ 。

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解题步骤 8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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解题步骤 8.1.1

将 $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\arctan (- (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}))$

解题步骤 8.1.2

合并。

$\arctan (- \frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})})$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$\arctan (- \frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})$

解题步骤 8.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\arctan (- \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})$

解题步骤 8.3.2

约去公因数。

$\arctan (- \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})$

解题步骤 8.3.3

重写表达式。

$\arctan (- \frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})$

解题步骤 8.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\arctan (- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})$

解题步骤 8.5

化简分母。

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解题步骤 8.5.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\arctan (- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})$

解题步骤 8.5.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.5.2.1

从 $3 \cdot 1$ 中分解出因数 $3$ 。

$\arctan (- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}})$

解题步骤 8.5.2.2

约去公因数。

$\arctan (- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})$

解题步骤 8.5.2.3

重写表达式。

$\arctan (- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

解题步骤 8.6

将 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ 。

$\arctan (- (\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}))$

解题步骤 8.7

将 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ 。

$\arctan (- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})})$

解题步骤 8.8

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\arctan (- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}})$

解题步骤 8.9

化简。

$\arctan (- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6})$

解题步骤 8.10

化简分子。

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解题步骤 8.10.1

对 $3 - \sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\arctan (- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6})$

解题步骤 8.10.2

对 $3 - \sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\arctan (- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6})$

解题步骤 8.10.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\arctan (- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6})$

解题步骤 8.10.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\arctan (- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6})$

解题步骤 8.11

将 ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ 。

$\arctan (- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6})$

解题步骤 8.12

使用 FOIL 方法展开 $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 8.12.1

运用分配律。

$\arctan (- \frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6})$

解题步骤 8.12.2

运用分配律。

$\arctan (- \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6})$

解题步骤 8.12.3

运用分配律。

$\arctan (- \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})$

解题步骤 8.13

化简并合并同类项。

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解题步骤 8.13.1

化简每一项。

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解题步骤 8.13.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\arctan (- \frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})$

解题步骤 8.13.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})$

解题步骤 8.13.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})$

解题步骤 8.13.1.4

乘以 $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 8.13.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})$

解题步骤 8.13.1.4.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})$

解题步骤 8.13.1.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6})$

解题步骤 8.13.1.4.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6})$

解题步骤 8.13.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6})$

解题步骤 8.13.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6})$

解题步骤 8.13.1.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 8.13.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6})$

解题步骤 8.13.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6})$

解题步骤 8.13.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6})$

解题步骤 8.13.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.13.1.5.4.1

约去公因数。

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6})$

解题步骤 8.13.1.5.4.2

重写表达式。

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6})$

解题步骤 8.13.1.5.5

计算指数。

$\arctan (- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6})$

解题步骤 8.13.2

将 $9$ 和 $3$ 相加。

$\arctan (- \frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6})$

解题步骤 8.13.3

从 $- 3 \sqrt{3}$ 中减去 $3 \sqrt{3}$ 。

$\arctan (- \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6})$

解题步骤 8.14

约去 $12 - 6 \sqrt{3}$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 8.14.1

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

$\arctan (- \frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6})$

解题步骤 8.14.2

从 $- 6 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $6$ 。

$\arctan (- \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6})$

解题步骤 8.14.3

从 $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ 中分解出因数 $6$ 。

$\arctan (- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6})$

解题步骤 8.14.4

约去公因数。

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解题步骤 8.14.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$\arctan (- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)})$

解题步骤 8.14.4.2

约去公因数。

$\arctan (- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1})$

解题步骤 8.14.4.3

重写表达式。

$\arctan (- \frac{2 - \sqrt{3}}{1})$

解题步骤 8.14.4.4

用 $2 - \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$\arctan (- (2 - \sqrt{3}))$

解题步骤 8.15

运用分配律。

$\arctan (- 1 \cdot 2 - - \sqrt{3})$

解题步骤 8.16

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\arctan (- 2 - - \sqrt{3})$

解题步骤 8.17

乘以 $- - \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 8.17.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\arctan (- 2 + 1 \sqrt{3})$

解题步骤 8.17.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\arctan (- 2 + \sqrt{3})$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\arctan (- 2 + \sqrt{3})$

小数形式：

$- 0.26179938 \dots$

三角学 示例

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