三角学示例

$\frac{\tan (x)}{1 + \sec (x)} + \frac{1 + \sec (x)}{\tan (x)}$

解题步骤 1

要将 $\frac{\tan (x)}{1 + \sec (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\tan (x)}{\tan (x)}$ 。

$\frac{\tan (x)}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\tan (x)} + \frac{1 + \sec (x)}{\tan (x)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{1 + \sec (x)}{\tan (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$ 。

$\frac{\tan (x)}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\tan (x)} + \frac{1 + \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 + \sec (x)) \tan (x)$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{\tan (x)}{1 + \sec (x)}$ 乘以 $\frac{\tan (x)}{\tan (x)}$ 。

$\frac{\tan (x) \tan (x)}{(1 + \sec (x)) \tan (x)} + \frac{1 + \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1 + \sec (x)}{\tan (x)}$ 乘以 $\frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$ 。

$\frac{\tan (x) \tan (x)}{(1 + \sec (x)) \tan (x)} + \frac{(1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 3.3

重新排序 $(1 + \sec (x)) \tan (x)$ 的因式。

$\frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))} + \frac{(1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{\tan (x) \tan (x) + (1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

乘以 $\tan (x) \tan (x)$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\tan^{1} (x) \tan (x) + (1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 5.1.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + (1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\tan (x)}^{1 + 1} + (1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 5.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\tan^{2} (x) + (1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 5.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 (1 + \sec (x)) + \sec (x) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \sec (x) + \sec (x) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 5.2.3

运用分配律。

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) \sec (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 + 1 \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) \sec (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 5.3.1.2

将 $\sec (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 + \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) \sec (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 5.3.1.3

将 $\sec (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 + \sec (x) + \sec (x) + \sec (x) \sec (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 5.3.1.4

乘以 $\sec (x) \sec (x)$ 。

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解题步骤 5.3.1.4.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 + \sec (x) + \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 5.3.1.4.2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 + \sec (x) + \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 5.3.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 + \sec (x) + \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1}}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 5.3.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 + \sec (x) + \sec (x) + \sec^{2} (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 5.3.2

将 $\sec (x)$ 和 $\sec (x)$ 相加。

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 + 2 \sec (x) + \sec^{2} (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 5.4

使用勾股恒等式。

$\frac{\sec^{2} (x) + 2 \sec (x) + \sec^{2} (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 5.5

将 $\sec^{2} (x)$ 和 $\sec^{2} (x)$ 相加。

$\frac{2 \sec^{2} (x) + 2 \sec (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 5.6

从 $2 \sec^{2} (x) + 2 \sec (x)$ 中分解出因数 $2 \sec (x)$ 。

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解题步骤 5.6.1

从 $2 \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $2 \sec (x)$ 。

$\frac{2 \sec (x) (\sec (x)) + 2 \sec (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 5.6.2

从 $2 \sec (x)$ 中分解出因数 $2 \sec (x)$ 。

$\frac{2 \sec (x) (\sec (x)) + 2 \sec (x) (1)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 5.6.3

从 $2 \sec (x) (\sec (x)) + 2 \sec (x) (1)$ 中分解出因数 $2 \sec (x)$ 。

$\frac{2 \sec (x) (\sec (x) + 1)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 6

约去 $\sec (x) + 1$ 和 $1 + \sec (x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.1

重新排序项。

$\frac{2 \sec (x) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 6.2

约去公因数。

$\frac{2 \sec (x) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 6.3

重写表达式。

$\frac{2 \sec (x)}{\tan (x)}$

解题步骤 7

分离分数。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sec (x)}{\tan (x)}$

解题步骤 8

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sec (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

解题步骤 9

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

解题步骤 10

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{2}{1} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

解题步骤 11

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 11.1

约去公因数。

$\frac{2}{1} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

解题步骤 11.2

重写表达式。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 12

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\frac{2}{1} \csc (x)$

解题步骤 13

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 \csc (x)$

三角学 示例

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