三角学示例

$2 \cos (x) + 2 \sin (x) = \sqrt{6}$

解题步骤 1

对等式两边进行平方。

${(2 \cos (x) + 2 \sin (x))}^{2} = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2

化简 ${(2 \cos (x) + 2 \sin (x))}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

将 ${(2 \cos (x) + 2 \sin (x))}^{2}$ 重写为 $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) + 2 \sin (x))$ 。

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) + 2 \sin (x))$ 。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$2 \cos (x) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

乘以 $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.1.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.2

添加圆括号。

$4 \cos^{2} (x) + 2 (\cos (x) (2 \sin (x))) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.3

将 $\cos (x)$ 和 $2 \sin (x)$ 重新排序。

$4 \cos^{2} (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.4

使用正弦倍角公式。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.5

添加圆括号。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 (\sin (x) (2 \cos (x))) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.6

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 (2 \cdot \sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.7

使用正弦倍角公式。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.8

乘以 $2 \sin (x) (2 \sin (x))$ 。

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解题步骤 2.3.1.8.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 \sin (x) \sin (x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.8.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 (\sin^{1} (x) \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.8.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.8.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 {\sin (x)}^{1 + 1} = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.8.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 \sin^{2} (x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.3.2

将 $2 \sin (2 x)$ 和 $2 \sin (2 x)$ 相加。

$4 \cos^{2} (x) + 4 \sin (2 x) + 4 \sin^{2} (x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.4

移动 $4 \sin^{2} (x)$ 。

$4 \cos^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.5

从 $4 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (\cos^{2} (x)) + 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.6

从 $4 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x)) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.7

从 $4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.8

重新整理项。

$4 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.9

使用勾股恒等式。

$4 \cdot 1 + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 2.10

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

解题步骤 3

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 + 4 \sin (2 x) = {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

约去公因数。

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.4.2

重写表达式。

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{1}$

解题步骤 3.5

计算指数。

$4 + 4 \sin (2 x) = 6$

解题步骤 4

将所有不包含 $\sin (2 x)$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$4 \sin (2 x) = 6 - 4$

解题步骤 4.2

从 $6$ 中减去 $4$ 。

$4 \sin (2 x) = 2$

解题步骤 5

将 $4 \sin (2 x) = 2$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $4 \sin (2 x) = 2$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 \sin (2 x)}{4} = \frac{2}{4}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 \sin (2 x)}{4} = \frac{2}{4}$

解题步骤 5.2.1.2

用 $\sin (2 x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (2 x) = \frac{2}{4}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sin (2 x) = \frac{2 (1)}{4}$

解题步骤 5.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sin (2 x) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.3.1.2.2

约去公因数。

$\sin (2 x) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.3.1.2.3

重写表达式。

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 6

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

解题步骤 7

化简右边。

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解题步骤 7.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$2 x = \frac{π}{6}$

解题步骤 8

将 $2 x = \frac{π}{6}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $2 x = \frac{π}{6}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 8.3.2

乘以 $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 8.3.2.1

将 $\frac{π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

解题步骤 8.3.2.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{π}{12}$

解题步骤 9

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$2 x = π - \frac{π}{6}$

解题步骤 10

求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

化简。

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解题步骤 10.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 10.1.2

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 10.1.3

在公分母上合并分子。

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 10.1.4

从 $π \cdot 6$ 中减去 $π$ 。

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解题步骤 10.1.4.1

将 $π$ 和 $6$ 重新排序。

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

解题步骤 10.1.4.2

从 $6 \cdot π$ 中减去 $π$ 。

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

解题步骤 10.2

将 $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 10.2.1

将 $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

解题步骤 10.2.2

化简左边。

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解题步骤 10.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

解题步骤 10.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

解题步骤 10.2.3

化简右边。

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解题步骤 10.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 10.2.3.2

乘以 $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 10.2.3.2.1

将 $\frac{5 π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

解题步骤 10.2.3.2.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{5 π}{12}$

解题步骤 11

求 $\sin (2 x)$ 的周期。

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解题步骤 11.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 11.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 11.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 11.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 11.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 12

$\sin (2 x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13

排除不能使 $2 \cos (x) + 2 \sin (x) = \sqrt{6}$ 成立的解。

$x = \frac{π}{12} + 2 π n, \frac{5 π}{12} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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