三角学示例

sin (\frac{π}{4} + \frac{π}{3})

$\sin (\frac{π}{4} + \frac{π}{3})$

解题步骤 1

要将

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ 。

sin (\frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3})

$\sin (\frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3})$

解题步骤 2

要将

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ 。

sin (\frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})

$\sin (\frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

解题步骤 3

通过与

1

$1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母

12

$12$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ 乘以

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ 。

sin (\frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})

$\sin (\frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

解题步骤 3.2

将

4

$4$ 乘以

3

$3$ 。

sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})

$\sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

解题步骤 3.3

将

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ 乘以

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ 。

sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4})

$\sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4})$

解题步骤 3.4

将

3

$3$ 乘以

4

$4$ 。

sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12})

$\sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12})$

sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12})

$\sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12})$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

sin (\frac{π \cdot 3 + π \cdot 4}{12})

$\sin (\frac{π \cdot 3 + π \cdot 4}{12})$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

将

3

$3$ 移到

π

$π$ 的左侧。

sin (\frac{3 \cdot π + π \cdot 4}{12})

$\sin (\frac{3 \cdot π + π \cdot 4}{12})$

解题步骤 5.2

将

4

$4$ 移到

π

$π$ 的左侧。

sin (\frac{3 π + 4 \cdot π}{12})

$\sin (\frac{3 π + 4 \cdot π}{12})$

解题步骤 5.3

将

3 π

$3 π$ 和

4 π

$4 π$ 相加。

sin (\frac{7 π}{12})

$\sin (\frac{7 π}{12})$

sin (\frac{7 π}{12})

$\sin (\frac{7 π}{12})$

解题步骤 6

sin (\frac{7 π}{12})

$\sin (\frac{7 π}{12})$ 的准确值为

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ 。

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解题步骤 6.1

将

\frac{7 π}{12}

$\frac{7 π}{12}$ 重写为六个三角函数的值除以

2

$2$ 的角。

sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})

$\sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

解题步骤 6.2

使用正弦半角公式。

\pm \sqrt{\frac{1 - cos (\frac{7 π}{6})}{2}}

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

解题步骤 6.3

因为正弦在第二象限中为正，所以将

\pm

$\pm$ 变为

+

$+$ 。

\sqrt{\frac{1 - cos (\frac{7 π}{6})}{2}}

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

解题步骤 6.4

化简

\sqrt{\frac{1 - cos (\frac{7 π}{6})}{2}}

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ 。

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解题步骤 6.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

\sqrt{\frac{1 - - cos (\frac{π}{6})}{2}}

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

解题步骤 6.4.2

cos (\frac{π}{6})

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

解题步骤 6.4.3

乘以

- - \frac{\sqrt{3}}{2}

$- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 6.4.3.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

解题步骤 6.4.3.2

将

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以

1

$1$ 。

\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

解题步骤 6.4.4

将

1

$1$ 写成具有公分母的分数。

\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

解题步骤 6.4.5

在公分母上合并分子。

\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}}$

解题步骤 6.4.6

将分子乘以分母的倒数。

\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

解题步骤 6.4.7

乘以

\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 6.4.7.1

将

\frac{2 + \sqrt{3}}{2}

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ 乘以

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 。

\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 6.4.7.2

将

2

$2$ 乘以

2

$2$ 。

\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

解题步骤 6.4.8

将

\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ 重写为

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ 。

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 6.4.9

化简分母。

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解题步骤 6.4.9.1

将

4

$4$ 重写为

2^{2}

$2^{2}$ 。

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 6.4.9.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}