三角学示例

$\sin (3 x) = 3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$

解题步骤 1

从右边开始。

$3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$

解题步骤 2

从 $3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 2.1

从 $3 \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) \cdot 3 - 4 \sin^{3} (x)$

解题步骤 2.2

从 $- 4 \sin^{3} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) (- 4 \sin^{2} (x))$

解题步骤 2.3

从 $\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) (- 4 \sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (3 - 4 \sin^{2} (x))$

解题步骤 3

将勾股恒等式反过来使用。

$\sin (x) (3 - 4 (1 - \cos^{2} (x)))$

解题步骤 4

运用分配律。

$\sin (x) (3 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)))$

解题步骤 5

化简每一项。

$\sin (x) (3 - 4 + 4 \cos^{2} (x))$

解题步骤 6

运用分配律。

$\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) \cdot - 4 + \sin (x) (4 \cos^{2} (x))$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

将 $3$ 移到 $\sin (x)$ 的左侧。

$3 \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot - 4 + \sin (x) (4 {\cos (x)}^{2})$

解题步骤 7.1.2

将 $- 4$ 移到 $\sin (x)$ 的左侧。

$3 \sin (x) - 4 \cdot \sin (x) + \sin (x) (4 {\cos (x)}^{2})$

解题步骤 7.1.3

将 $4$ 移到 $\sin (x)$ 的左侧。

$3 \sin (x) - 4 \sin (x) + 4 \sin (x) {\cos (x)}^{2}$

解题步骤 7.2

从 $3 \sin (x)$ 中减去 $4 \sin (x)$ 。

$- \sin (x) + 4 \sin (x) \cos^{2} (x)$

解题步骤 8

将勾股恒等式反过来使用。

$- \sin (x) + 4 \sin (x) (1 - \sin^{2} (x))$

解题步骤 9

因数。

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解题步骤 9.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- \sin (x) + 4 \sin (x) (1^{2} - \sin^{2} (x))$

解题步骤 9.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \sin (x)$ 。

$- \sin (x) + 4 \sin (x) ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

解题步骤 9.3

去掉圆括号。

$- \sin (x) + 4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$

解题步骤 9.4

从 $- \sin (x) + 4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 9.4.1

从 $- \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) \cdot - 1 + 4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$

解题步骤 9.4.2

从 $4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) ((4 (1 + \sin (x))) (1 - \sin (x)))$

解题步骤 9.4.3

从 $\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) ((4 (1 + \sin (x))) (1 - \sin (x)))$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (- 1 + (4 (1 + \sin (x))) (1 - \sin (x)))$

解题步骤 9.5

运用分配律。

$\sin (x) (- 1 + (4 \cdot 1 + 4 \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

解题步骤 9.6

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\sin (x) (- 1 + (4 + 4 \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

解题步骤 9.7

使用 FOIL 方法展开 $(4 + 4 \sin (x)) (1 - \sin (x))$ 。

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解题步骤 9.7.1

运用分配律。

$\sin (x) (- 1 + 4 (1 - \sin (x)) + 4 \sin (x) (1 - \sin (x)))$

解题步骤 9.7.2

运用分配律。

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 4 (- \sin (x)) + 4 \sin (x) (1 - \sin (x)))$

解题步骤 9.7.3

运用分配律。

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 4 (- \sin (x)) + 4 \sin (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 9.8

合并 $4 \cdot 1 + 4 (- \sin (x)) + 4 \sin (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) (- \sin (x))$ 中相反的项。

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解题步骤 9.8.1

按照 $4 (- \sin (x))$ 和 $4 \sin (x) \cdot 1$ 重新排列因数。

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 4 \sin (x) + 1 \cdot 4 \sin (x) + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 9.8.2

将 $- 1 \cdot 4 \sin (x)$ 和 $1 \cdot 4 \sin (x)$ 相加。

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 0 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 9.8.3

将 $4 \cdot 1$ 和 $0$ 相加。

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 9.9

化简每一项。

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解题步骤 9.9.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\sin (x) (- 1 + 4 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 9.9.2

乘以 $4 \sin (x) (- \sin (x))$ 。

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解题步骤 9.9.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 \sin (x) \sin (x))$

解题步骤 9.9.2.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x)))$

解题步骤 9.9.2.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))$

解题步骤 9.9.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 {\sin (x)}^{1 + 1})$

解题步骤 9.9.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 \sin^{2} (x))$

解题步骤 9.10

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sin (x) (- 1 + 4 (1) - 4 \sin^{2} (x))$

解题步骤 9.11

从 $- 4 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sin (x) (- 1 + 4 (1) + 4 (- \sin^{2} (x)))$

解题步骤 9.12

从 $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sin (x) (- 1 + 4 (1 - \sin^{2} (x)))$

解题步骤 9.13

使用勾股恒等式。

$\sin (x) (- 1 + 4 \cos^{2} (x))$

解题步骤 9.14

因数。

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解题步骤 9.14.1

以因式分解的形式重写 $- 1 + 4 \cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 9.14.1.1

将 $4 \cos^{2} (x)$ 重写为 ${(2 \cos (x))}^{2}$ 。

$\sin (x) (- 1 + {(2 \cos (x))}^{2})$

解题步骤 9.14.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\sin (x) (- 1^{2} + {(2 \cos (x))}^{2})$

解题步骤 9.14.1.3

将 $- 1^{2}$ 和 ${(2 \cos (x))}^{2}$ 重新排序。

$\sin (x) ({(2 \cos (x))}^{2} - 1^{2})$

解题步骤 9.14.1.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2 \cos (x)$ 和 $b = 1$ 。

$\sin (x) ((2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1))$

解题步骤 9.14.2

去掉多余的括号。

$\sin (x) (2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1)$

解题步骤 10

运用分配律。

$(\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot 1) (2 \cos (x) - 1)$

解题步骤 11

化简每一项。

$(2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) (2 \cos (x) - 1)$

解题步骤 12

运用分配律。

$(2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

运用分配律。

$2 \sin (x) \cos (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

解题步骤 13.1.2

乘以 $2 \sin (x) \cos (x) (2 \cos (x))$ 。

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解题步骤 13.1.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \sin (x) \cos (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

解题步骤 13.1.2.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \sin (x) ({\cos (x)}^{1} \cos (x)) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

解题步骤 13.1.2.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \sin (x) ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

解题步骤 13.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

解题步骤 13.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

解题步骤 13.1.3

将 $2$ 移到 $\sin (x)$ 的左侧。

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

解题步骤 13.1.4

运用分配律。

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot - 1 + \sin (x) \cdot - 1$

解题步骤 13.1.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1$

解题步骤 13.1.6

将 $- 1$ 移到 $\sin (x)$ 的左侧。

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot \sin (x)$

解题步骤 13.1.7

将 $- 1 \sin (x)$ 重写为 $- \sin (x)$ 。

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

解题步骤 13.2

从 $2 \sin (x) \cos (x)$ 中减去 $2 \sin (x) \cos (x)$ 。

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 0 - \sin (x)$

解题步骤 13.3

将 $4 \sin (x) {\cos (x)}^{2}$ 和 $0$ 相加。

$4 \sin (x) \cos^{2} (x) - \sin (x)$

解题步骤 14

将勾股恒等式反过来使用。

$4 \sin (x) (1 - \sin^{2} (x)) - \sin (x)$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

运用分配律。

$4 \sin (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) (- {\sin (x)}^{2}) - \sin (x)$

解题步骤 15.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 \sin (x) + 4 \sin (x) (- {\sin (x)}^{2}) - \sin (x)$

解题步骤 15.1.3

通过指数相加将 $\sin (x)$ 乘以 ${\sin (x)}^{2}$ 。

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解题步骤 15.1.3.1

移动 ${\sin (x)}^{2}$ 。

$4 \sin (x) + 4 ({\sin (x)}^{2} \sin (x)) \cdot - 1 - \sin (x)$

解题步骤 15.1.3.2

将 ${\sin (x)}^{2}$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 15.1.3.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \sin (x) + 4 ({\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{1}) \cdot - 1 - \sin (x)$

解题步骤 15.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \sin (x) + 4 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1 - \sin (x)$

解题步骤 15.1.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$4 \sin (x) + 4 {\sin (x)}^{3} \cdot - 1 - \sin (x)$

解题步骤 15.1.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$4 \sin (x) - 4 {\sin (x)}^{3} - \sin (x)$

解题步骤 15.2

从 $4 \sin (x)$ 中减去 $\sin (x)$ 。

$- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x)$

解题步骤 16

使用正弦三倍角公式。

$\sin (3 x)$

解题步骤 17

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\sin (3 x) = 3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$ 是一个恒等式

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