三角学示例

sin (3 x) = 3 sin (x) - 4 {sin}^{3} (x)

$\sin (3 x) = 3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$

解题步骤 1

从右边开始。

3 sin (x) - 4 {sin}^{3} (x)

$3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$

解题步骤 2

从

3 sin (x) - 4 {sin}^{3} (x)

$3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$ 中分解出因数

sin (x)

$\sin (x)$ 。

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解题步骤 2.1

从

3 sin (x)

$3 \sin (x)$ 中分解出因数

sin (x)

$\sin (x)$ 。

sin (x) \cdot 3 - 4 {sin}^{3} (x)

$\sin (x) \cdot 3 - 4 \sin^{3} (x)$

解题步骤 2.2

从

- 4 {sin}^{3} (x)

$- 4 \sin^{3} (x)$ 中分解出因数

sin (x)

$\sin (x)$ 。

sin (x) \cdot 3 + sin (x) (- 4 {sin}^{2} (x))

$\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) (- 4 \sin^{2} (x))$

解题步骤 2.3

从

sin (x) \cdot 3 + sin (x) (- 4 {sin}^{2} (x))

$\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) (- 4 \sin^{2} (x))$ 中分解出因数

sin (x)

$\sin (x)$ 。

sin (x) (3 - 4 {sin}^{2} (x))

$\sin (x) (3 - 4 \sin^{2} (x))$

sin (x) (3 - 4 {sin}^{2} (x))

$\sin (x) (3 - 4 \sin^{2} (x))$

解题步骤 3

将勾股恒等式反过来使用。

sin (x) (3 - 4 (1 - {cos}^{2} (x)))

$\sin (x) (3 - 4 (1 - \cos^{2} (x)))$

解题步骤 4

运用分配律。

sin (x) (3 - 4 \cdot 1 - 4 (- {cos}^{2} (x)))

$\sin (x) (3 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)))$

解题步骤 5

化简每一项。

sin (x) (3 - 4 + 4 {cos}^{2} (x))

$\sin (x) (3 - 4 + 4 \cos^{2} (x))$

解题步骤 6

运用分配律。

sin (x) \cdot 3 + sin (x) \cdot - 4 + sin (x) (4 {cos}^{2} (x))

$\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) \cdot - 4 + \sin (x) (4 \cos^{2} (x))$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

将

3

$3$ 移到

sin (x)

$\sin (x)$ 的左侧。

3 \cdot sin (x) + sin (x) \cdot - 4 + sin (x) (4 {cos (x)}^{2})

$3 \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot - 4 + \sin (x) (4 {\cos (x)}^{2})$

解题步骤 7.1.2

将

- 4

$- 4$ 移到

sin (x)

$\sin (x)$ 的左侧。

3 sin (x) - 4 \cdot sin (x) + sin (x) (4 {cos (x)}^{2})

$3 \sin (x) - 4 \cdot \sin (x) + \sin (x) (4 {\cos (x)}^{2})$

解题步骤 7.1.3

将

4

$4$ 移到

sin (x)

$\sin (x)$ 的左侧。

3 sin (x) - 4 sin (x) + 4 sin (x) {cos (x)}^{2}

$3 \sin (x) - 4 \sin (x) + 4 \sin (x) {\cos (x)}^{2}$

3 sin (x) - 4 sin (x) + 4 sin (x) {cos (x)}^{2}

$3 \sin (x) - 4 \sin (x) + 4 \sin (x) {\cos (x)}^{2}$

解题步骤 7.2

从

3 sin (x)

$3 \sin (x)$ 中减去

4 sin (x)

$4 \sin (x)$ 。

- sin (x) + 4 sin (x) {cos}^{2} (x)

$- \sin (x) + 4 \sin (x) \cos^{2} (x)$

- sin (x) + 4 sin (x) {cos}^{2} (x)

$- \sin (x) + 4 \sin (x) \cos^{2} (x)$

解题步骤 8

将勾股恒等式反过来使用。

- sin (x) + 4 sin (x) (1 - {sin}^{2} (x))

$- \sin (x) + 4 \sin (x) (1 - \sin^{2} (x))$

解题步骤 9

因数。

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解题步骤 9.1

将

1

$1$ 重写为

1^{2}

$1^{2}$ 。

- sin (x) + 4 sin (x) (1^{2} - {sin}^{2} (x))

$- \sin (x) + 4 \sin (x) (1^{2} - \sin^{2} (x))$

解题步骤 9.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中

a = 1

$a = 1$ 和

b = sin (x)

$b = \sin (x)$ 。

- sin (x) + 4 sin (x) ((1 + sin (x)) (1 - sin (x)))

$- \sin (x) + 4 \sin (x) ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

解题步骤 9.3

去掉圆括号。

- sin (x) + 4 sin (x) (1 + sin (x)) (1 - sin (x))

$- \sin (x) + 4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$

解题步骤 9.4

从

- sin (x) + 4 sin (x) (1 + sin (x)) (1 - sin (x))

$- \sin (x) + 4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ 中分解出因数

$\sin (x)$ 。

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解题步骤 9.4.1

从

$- \sin (x)$ 中分解出因数

$\sin (x)$ 。

$\sin (x) \cdot - 1 + 4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$

解题步骤 9.4.2

从

$4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ 中分解出因数

$\sin (x)$ 。

$\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) ((4 (1 + \sin (x))) (1 - \sin (x)))$

解题步骤 9.4.3

从

$\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) ((4 (1 + \sin (x))) (1 - \sin (x)))$ 中分解出因数

$\sin (x)$ 。

$\sin (x) (- 1 + (4 (1 + \sin (x))) (1 - \sin (x)))$

解题步骤 9.5

运用分配律。

$\sin (x) (- 1 + (4 \cdot 1 + 4 \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

解题步骤 9.6

将

$4$ 乘以

$1$ 。

$\sin (x) (- 1 + (4 + 4 \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

解题步骤 9.7

使用 FOIL 方法展开

$(4 + 4 \sin (x)) (1 - \sin (x))$ 。

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解题步骤 9.7.1

运用分配律。

$\sin (x) (- 1 + 4 (1 - \sin (x)) + 4 \sin (x) (1 - \sin (x)))$

解题步骤 9.7.2

运用分配律。

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 4 (- \sin (x)) + 4 \sin (x) (1 - \sin (x)))$

解题步骤 9.7.3

运用分配律。

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 4 (- \sin (x)) + 4 \sin (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 9.8

合并

$4 \cdot 1 + 4 (- \sin (x)) + 4 \sin (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) (- \sin (x))$ 中相反的项。

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解题步骤 9.8.1

按照

$4 (- \sin (x))$ 和

$4 \sin (x) \cdot 1$ 重新排列因数。

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 4 \sin (x) + 1 \cdot 4 \sin (x) + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 9.8.2

将

$- 1 \cdot 4 \sin (x)$ 和

$1 \cdot 4 \sin (x)$ 相加。

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 0 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 9.8.3

将

$4 \cdot 1$ 和

$0$ 相加。

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 9.9

化简每一项。

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解题步骤 9.9.1

将

$4$ 乘以

$1$ 。

$\sin (x) (- 1 + 4 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 9.9.2

乘以

$4 \sin (x) (- \sin (x))$ 。

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解题步骤 9.9.2.1

将

$- 1$ 乘以

$4$ 。

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 \sin (x) \sin (x))$

解题步骤 9.9.2.2

对

$\sin (x)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x)))$

解题步骤 9.9.2.3

对

$\sin (x)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))$

解题步骤 9.9.2.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 {\sin (x)}^{1 + 1})$

解题步骤 9.9.2.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 \sin^{2} (x))$

解题步骤 9.10

从

$4$ 中分解出因数

$4$ 。

$\sin (x) (- 1 + 4 (1) - 4 \sin^{2} (x))$

解题步骤 9.11

从

$- 4 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数

$4$ 。

$\sin (x) (- 1 + 4 (1) + 4 (- \sin^{2} (x)))$

解题步骤 9.12

从

$4 (1) + 4 (- \sin^{2} (x))$ 中分解出因数

$4$ 。

$\sin (x) (- 1 + 4 (1 - \sin^{2} (x)))$

解题步骤 9.13

使用勾股恒等式。

$\sin (x) (- 1 + 4 \cos^{2} (x))$

解题步骤 9.14

因数。

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解题步骤 9.14.1

以因式分解的形式重写

$- 1 + 4 \cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 9.14.1.1

将

$4 \cos^{2} (x)$ 重写为

${(2 \cos (x))}^{2}$ 。

$\sin (x) (- 1 + {(2 \cos (x))}^{2})$

解题步骤 9.14.1.2

将

$1$ 重写为

$1^{2}$ 。

$\sin (x) (- 1^{2} + {(2 \cos (x))}^{2})$

解题步骤 9.14.1.3

将

$- 1^{2}$ 和

${(2 \cos (x))}^{2}$ 重新排序。

$\sin (x) ({(2 \cos (x))}^{2} - 1^{2})$

解题步骤 9.14.1.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中

$a = 2 \cos (x)$ 和

$b = 1$ 。

$\sin (x) ((2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1))$

解题步骤 9.14.2

去掉多余的括号。

$\sin (x) (2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1)$

解题步骤 10

运用分配律。

$(\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot 1) (2 \cos (x) - 1)$

解题步骤 11

化简每一项。

$(2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) (2 \cos (x) - 1)$

解题步骤 12

运用分配律。

$(2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

运用分配律。

$2 \sin (x) \cos (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

解题步骤 13.1.2

乘以

$2 \sin (x) \cos (x) (2 \cos (x))$ 。

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解题步骤 13.1.2.1

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$4 \sin (x) \cos (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

解题步骤 13.1.2.2

对

$\cos (x)$ 进行

$1$ 次方运算。

$4 \sin (x) ({\cos (x)}^{1} \cos (x)) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

解题步骤 13.1.2.3

对

$\cos (x)$ 进行

$1$ 次方运算。

$4 \sin (x) ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

解题步骤 13.1.2.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

解题步骤 13.1.2.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

解题步骤 13.1.3

将

$2$ 移到

$\sin (x)$ 的左侧。

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

解题步骤 13.1.4

运用分配律。

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot - 1 + \sin (x) \cdot - 1$

解题步骤 13.1.5

将

$- 1$ 乘以

$2$ 。

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1$

解题步骤 13.1.6

将

$- 1$ 移到

$\sin (x)$ 的左侧。

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot \sin (x)$

解题步骤 13.1.7

将

$- 1 \sin (x)$ 重写为

$- \sin (x)$ 。

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

解题步骤 13.2

从

$2 \sin (x) \cos (x)$ 中减去

$2 \sin (x) \cos (x)$ 。

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 0 - \sin (x)$

解题步骤 13.3

将

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2}$ 和

$0$ 相加。

$4 \sin (x) \cos^{2} (x) - \sin (x)$

解题步骤 14

将勾股恒等式反过来使用。

$4 \sin (x) (1 - \sin^{2} (x)) - \sin (x)$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

运用分配律。

$4 \sin (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) (- {\sin (x)}^{2}) - \sin (x)$

解题步骤 15.1.2

将

$4$ 乘以

$1$ 。

$4 \sin (x) + 4 \sin (x) (- {\sin (x)}^{2}) - \sin (x)$

解题步骤 15.1.3

通过指数相加将

$\sin (x)$ 乘以

${\sin (x)}^{2}$ 。

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解题步骤 15.1.3.1

移动

${\sin (x)}^{2}$ 。

$4 \sin (x) + 4 ({\sin (x)}^{2} \sin (x)) \cdot - 1 - \sin (x)$

解题步骤 15.1.3.2

将

${\sin (x)}^{2}$ 乘以

$\sin (x)$ 。

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解题步骤 15.1.3.2.1

对

$\sin (x)$ 进行

$1$ 次方运算。

$4 \sin (x) + 4 ({\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{1}) \cdot - 1 - \sin (x)$

解题步骤 15.1.3.2.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \sin (x) + 4 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1 - \sin (x)$

解题步骤 15.1.3.3

将

$2$ 和

$1$ 相加。

$4 \sin (x) + 4 {\sin (x)}^{3} \cdot - 1 - \sin (x)$

解题步骤 15.1.4

将

$- 1$ 乘以

$4$ 。

$4 \sin (x) - 4 {\sin (x)}^{3} - \sin (x)$

解题步骤 15.2

从

$4 \sin (x)$ 中减去

$\sin (x)$ 。

$- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x)$

解题步骤 16

使用正弦三倍角公式。

$\sin (3 x)$

解题步骤 17

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\sin (3 x) = 3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$ 是一个恒等式

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