三角学示例

${(\sin (x) - \cos (x))}^{2} + {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

将 ${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ 重写为 $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ 。

$(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x)) + {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\sin (x) (\sin (x) - \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) + {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) + {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) + {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

乘以 $\sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.3.1.1.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) + {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1.3.1.1.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) + {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) + {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin^{2} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) + {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1.3.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) + {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1.3.1.3

乘以 $- \cos (x) (- \cos (x))$ 。

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解题步骤 1.3.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + 1 \cos (x) \cos (x) + {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1.3.1.3.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1.3.1.3.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1.3.1.3.4

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1.3.1.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1.3.1.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) + {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1.3.2

重新排序 $- \sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$\sin^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) + {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1.3.3

从 $- \cos (x) \sin (x)$ 中减去 $\cos (x) \sin (x)$ 。

$\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) + {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1.4

移动 $\cos^{2} (x)$ 。

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) + {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1.5

使用勾股恒等式。

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) + {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1.6

将 ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ 重写为 $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ 。

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) + (\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$

解题步骤 1.7

使用 FOIL 方法展开 $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ 。

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解题步骤 1.7.1

运用分配律。

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))$

解题步骤 1.7.2

运用分配律。

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))$

解题步骤 1.7.3

运用分配律。

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)$

解题步骤 1.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.8.1.1

乘以 $\sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.8.1.1.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)$

解题步骤 1.8.1.1.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)$

解题步骤 1.8.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)$

解题步骤 1.8.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)$

解题步骤 1.8.1.2

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.8.1.2.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

解题步骤 1.8.1.2.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

解题步骤 1.8.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 1.8.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)$

解题步骤 1.8.2

重新排序 $\sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)$

解题步骤 1.8.3

将 $\cos (x) \sin (x)$ 和 $\cos (x) \sin (x)$ 相加。

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)$

解题步骤 1.9

移动 $\cos^{2} (x)$ 。

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 1.10

使用勾股恒等式。

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) + 1 + 2 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 1.11

化简每一项。

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解题步骤 1.11.1

将 $2 \cos (x)$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) + 1 + \sin (x) (2 \cos (x))$

解题步骤 1.11.2

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) + 1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 1.11.3

使用正弦倍角公式。

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) + 1 + \sin (2 x)$

解题步骤 2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 2 \cos (x) \sin (x) + 2 + \sin (2 x)$

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