三角学示例

$\sin (x) - \cos (x) = \sqrt{2}$

解题步骤 1

使用恒等式求解方程。在该恒等式中， $θ$ 表示在图像上画出点 $(a, b)$ 时所得形成的角，因此可以使用 $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ 来求得。

当 $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 和 $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ 时， $a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$

解题步骤 2

建立方程式以求 $θ$ 的值。

$\tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

解题步骤 3

取逆正切来求解方程 $θ$ 。

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解题步骤 3.1

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

约去公因数。

$θ = \tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

解题步骤 3.1.2

重写表达式。

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

解题步骤 3.3

$\tan^{-1} (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$θ = - \frac{π}{4}$

解题步骤 4

求解出 $R$ 的值。

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解题步骤 4.1

一的任意次幂都为一。

$R = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$R = \sqrt{1 + 1}$

解题步骤 4.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$R = \sqrt{2}$

解题步骤 5

将已知值代入方程中。

$(\sqrt{2}) \sin (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

解题步骤 6

将 $\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ 中的每一项除以 $\sqrt{2}$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将 $\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ 中的每一项都除以 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

约去 $\sqrt{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $\sin (x - \frac{π}{4})$ 除以 $1$ 。

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

约去 $\sqrt{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.1

约去公因数。

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 6.3.1.2

重写表达式。

$\sin (x - \frac{π}{4}) = 1$

解题步骤 7

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (1)$

解题步骤 8

化简右边。

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解题步骤 8.1

$\sin^{-1} (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

解题步骤 9

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

解题步骤 9.2

要将 $\frac{π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

解题步骤 9.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 9.3.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

解题步骤 9.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 9.4

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

解题步骤 9.5

化简分子。

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解题步骤 9.5.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 9.5.2

将 $2 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 10

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{2}$

解题步骤 11

求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

化简 $π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 11.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 11.1.2

合并分数。

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解题步骤 11.1.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 11.1.2.2

在公分母上合并分子。

$x - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 11.1.3

化简分子。

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解题步骤 11.1.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x - \frac{π}{4} = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

解题步骤 11.1.3.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

解题步骤 11.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 11.2.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

解题步骤 11.2.2

要将 $\frac{π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

解题步骤 11.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 11.2.3.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

解题步骤 11.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 11.2.4

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

解题步骤 11.2.5

化简分子。

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解题步骤 11.2.5.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 11.2.5.2

将 $2 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 12

求 $\sin (x - \frac{π}{4})$ 的周期。

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解题步骤 12.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 12.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 12.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 12.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 13

$\sin (x - \frac{π}{4})$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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