三角学示例

\sec (x) \csc (x) = 2 \csc (x)

$\sec (x) \csc (x) = 2 \csc (x)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去

2 \csc (x)

$2 \csc (x)$ 。

\sec (x) \csc (x) - 2 \csc (x) = 0

$\sec (x) \csc (x) - 2 \csc (x) = 0$

解题步骤 2

从

\sec (x) \csc (x) - 2 \csc (x)

$\sec (x) \csc (x) - 2 \csc (x)$ 中分解出因数

\csc (x)

$\csc (x)$ 。

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解题步骤 2.1

从

\sec (x) \csc (x)

$\sec (x) \csc (x)$ 中分解出因数

\csc (x)

$\csc (x)$ 。

\csc (x) \sec (x) - 2 \csc (x) = 0

$\csc (x) \sec (x) - 2 \csc (x) = 0$

解题步骤 2.2

从

- 2 \csc (x)

$- 2 \csc (x)$ 中分解出因数

\csc (x)

$\csc (x)$ 。

\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \cdot - 2 = 0

$\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \cdot - 2 = 0$

解题步骤 2.3

从

\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \cdot - 2

$\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \cdot - 2$ 中分解出因数

\csc (x)

$\csc (x)$ 。

\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0

$\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0$

\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0

$\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于

0

$0$ ，则整个表达式将等于

0

$0$ 。

\csc (x) = 0

$\csc (x) = 0$

\sec (x) - 2 = 0

$\sec (x) - 2 = 0$

解题步骤 4

将

\csc (x)

$\csc (x)$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 4.1

将

\csc (x)

$\csc (x)$ 设为等于

0

$0$ 。

\csc (x) = 0

$\csc (x) = 0$

解题步骤 4.2

余割函数值域为

y \leq - 1

$y \leq - 1$ 和

y \geq 1

$y \geq 1$ 。由于

0

$0$ 不在该范围内，所以无解。

无解

解题步骤 5

将

\sec (x) - 2

$\sec (x) - 2$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 5.1

将

\sec (x) - 2

$\sec (x) - 2$ 设为等于

0

$0$ 。

\sec (x) - 2 = 0

$\sec (x) - 2 = 0$

解题步骤 5.2

求解

x

$x$ 的

\sec (x) - 2 = 0

$\sec (x) - 2 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上

2

$2$ 。

\sec (x) = 2

$\sec (x) = 2$

解题步骤 5.2.2

对方程两边取反正割以便从正割中提出

x

$x$ 。

x = arcsec (2)

$x = arcsec (2)$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

arcsec (2)

$arcsec (2)$ 的准确值为

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ 。

x = \frac{π}{3}

$x = \frac{π}{3}$

x = \frac{π}{3}

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.4

正割函数在第一象限和第斯象限为负。要求第二个解，应从

2 π

$2 π$ 中减去参考角以求第四象限中的解。

x = 2 π - \frac{π}{3}

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.5

化简

2 π - \frac{π}{3}

$2 π - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 5.2.5.1

要将

2 π

$2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ 。

x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.5.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.5.2.1

组合

2 π

$2 π$ 和

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ 。

x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.5.2.2

在公分母上合并分子。

x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 5.2.5.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.5.3.1

将

3

$3$ 乘以

2

$2$ 。

x = \frac{6 π - π}{3}

$x = \frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 5.2.5.3.2

从

6 π

$6 π$ 中减去

π

$π$ 。

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 5.2.6

求

\sec (x)

$\sec (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.6.1

函数的周期可利用

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.6.2

使用周期公式中的

1

$1$ 替换

b

$b$ 。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

1

$1$ 之间的距离为

1

$1$ 。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.6.4

用

2 π

$2 π$ 除以

1

$1$ 。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

解题步骤 5.2.7

\sec (x)

$\sec (x)$ 函数的周期为

2 π

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

2 π

$2 π$ 弧度将重复出现。

x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 6

最终解为使

\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0

$\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0$ 成立的所有值。

x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

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