三角学示例

$\sin (x) + \cos (x) = \sqrt{2}$

解题步骤 1

对等式两边进行平方。

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 2

化简 ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

将 ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ 重写为 $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ 。

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ 。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

乘以 $\sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.1.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.2

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.2.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} = {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 2.3.2

重新排序 $\sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 2.3.3

将 $\cos (x) \sin (x)$ 和 $\cos (x) \sin (x)$ 相加。

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 2.4

移动 $\cos^{2} (x)$ 。

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 2.5

使用勾股恒等式。

$1 + 2 \cos (x) \sin (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 2.6

化简每一项。

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解题步骤 2.6.1

将 $2 \cos (x)$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$1 + \sin (x) (2 \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 2.6.2

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 2.6.3

使用正弦倍角公式。

$1 + \sin (2 x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$1 + \sin (2 x) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

约去公因数。

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.4.2

重写表达式。

$1 + \sin (2 x) = 2^{1}$

解题步骤 3.5

计算指数。

$1 + \sin (2 x) = 2$

解题步骤 4

将所有不包含 $\sin (2 x)$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\sin (2 x) = 2 - 1$

解题步骤 4.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\sin (2 x) = 1$

解题步骤 5

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$2 x = \arcsin (1)$

解题步骤 6

化简右边。

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解题步骤 6.1

$\arcsin (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$2 x = \frac{π}{2}$

解题步骤 7

将 $2 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $2 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 7.3.2

乘以 $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 7.3.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 7.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 8

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$2 x = π - \frac{π}{2}$

解题步骤 9

求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

化简。

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解题步骤 9.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 9.1.2

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 9.1.3

在公分母上合并分子。

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 9.1.4

从 $π \cdot 2$ 中减去 $π$ 。

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解题步骤 9.1.4.1

将 $π$ 和 $2$ 重新排序。

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

解题步骤 9.1.4.2

从 $2 \cdot π$ 中减去 $π$ 。

$2 x = \frac{π}{2}$

解题步骤 9.2

将 $2 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $2 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 9.2.2

化简左边。

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解题步骤 9.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 9.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 9.2.3

化简右边。

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解题步骤 9.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 9.2.3.2

乘以 $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 9.2.3.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 10

求 $\sin (2 x)$ 的周期。

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解题步骤 10.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 10.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 10.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 10.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 11

$\sin (2 x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 12

将每一个解代入 $\sin (x) + \cos (x) = \sqrt{2}$ 并求解从而对其进行验证。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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