三角学示例

${(1 + i)}^{5}$

解题步骤 1

使用二项式定理。

$1^{5} + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

一的任意次幂都为一。

$1 + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.2

一的任意次幂都为一。

$1 + 5 \cdot 1 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$1 + 5 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.4

一的任意次幂都为一。

$1 + 5 i + 10 \cdot 1 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.5

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$1 + 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.6

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.7

将 $10$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.8

一的任意次幂都为一。

$1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.9

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$1 + 5 i - 10 + 10 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.10

因式分解出 $i^{2}$ 。

$1 + 5 i - 10 + 10 (i^{2} \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.11

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 5 i - 10 + 10 (- 1 \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.12

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$1 + 5 i - 10 + 10 (- i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.13

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.14

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.15

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.15.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + i^{5}$

解题步骤 2.1.15.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + i^{5}$

解题步骤 2.1.15.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 + i^{5}$

解题步骤 2.1.16

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{5}$

解题步骤 2.1.17

因式分解出 $i^{4}$ 。

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{4} i$

解题步骤 2.1.18

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.18.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(i^{2})}^{2} i$

解题步骤 2.1.18.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(- 1)}^{2} i$

解题步骤 2.1.18.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + 1 i$

解题步骤 2.1.19

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i$

解题步骤 2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $1$ 中减去 $10$ 。

$- 9 + 5 i - 10 i + 5 + i$

解题步骤 2.2.2

将 $- 9$ 和 $5$ 相加。

$- 4 + 5 i - 10 i + i$

解题步骤 2.2.3

从 $5 i$ 中减去 $10 i$ 。

$- 4 - 5 i + i$

解题步骤 2.2.4

将 $- 5 i$ 和 $i$ 相加。

$- 4 - 4 i$

解题步骤 3

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 4

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5

代入 $a = - 4$ 和 $b = - 4$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

解题步骤 6

求 $| z |$ 。

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解题步骤 6.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2}}$

解题步骤 6.2

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{16 + 16}$

解题步骤 6.3

将 $16$ 和 $16$ 相加。

$| z | = \sqrt{32}$

解题步骤 6.4

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 6.4.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$| z | = \sqrt{16 (2)}$

解题步骤 6.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

解题步骤 6.5

从根式下提出各项。

$| z | = 4 \sqrt{2}$

解题步骤 7

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{- 4}{- 4})$

解题步骤 8

因为 $\frac{- 4}{- 4}$ 的反正切得到一个在第三象限中的角，所以该角度值为 $\frac{5 π}{4}$ 。

$θ = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 9

代入 $θ = \frac{5 π}{4}$ 和 $| z | = 4 \sqrt{2}$ 的值。

$4 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$

三角学 示例

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