三角学示例

$(\sin (θ) - \cos (θ)) - {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$ 重写为 $(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) + \cos (θ))$ 。

$\sin (θ) - \cos (θ) - ((\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) + \cos (θ)))$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) + \cos (θ))$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) (\sin (θ) + \cos (θ)) + \cos (θ) (\sin (θ) + \cos (θ)))$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (\sin (θ) + \cos (θ)))$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ))$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

乘以 $\sin (θ) \sin (θ)$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ))$

解题步骤 3.1.1.2

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ))$

解题步骤 3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (θ) - \cos (θ) - ({\sin (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ))$

解题步骤 3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ))$

解题步骤 3.1.2

乘以 $\cos (θ) \cos (θ)$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos (θ))$

解题步骤 3.1.2.2

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ))$

解题步骤 3.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + {\cos (θ)}^{1 + 1})$

解题步骤 3.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ))$

解题步骤 3.2

重新排序 $\sin (θ) \cos (θ)$ 的因式。

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{2} (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ))$

解题步骤 3.3

将 $\cos (θ) \sin (θ)$ 和 $\cos (θ) \sin (θ)$ 相加。

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{2} (θ) + 2 \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ))$

解题步骤 4

移动 $\cos^{2} (θ)$ 。

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) + 2 \cos (θ) \sin (θ))$

解题步骤 5

使用勾股恒等式。

$\sin (θ) - \cos (θ) - (1 + 2 \cos (θ) \sin (θ))$

解题步骤 6

化简每一项。

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解题步骤 6.1

将 $2 \cos (θ)$ 和 $\sin (θ)$ 重新排序。

$\sin (θ) - \cos (θ) - (1 + \sin (θ) (2 \cos (θ)))$

解题步骤 6.2

将 $\sin (θ)$ 和 $2$ 重新排序。

$\sin (θ) - \cos (θ) - (1 + 2 \cdot \sin (θ) \cos (θ))$

解题步骤 6.3

使用正弦倍角公式。

$\sin (θ) - \cos (θ) - (1 + \sin (2 θ))$

解题步骤 7

运用分配律。

$\sin (θ) - \cos (θ) - 1 \cdot 1 - \sin (2 θ)$

解题步骤 8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\sin (θ) - \cos (θ) - 1 - \sin (2 θ)$

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