三角学示例

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} = 2 \csc (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

解题步骤 2

加上分数。

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解题步骤 2.1

要将 $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ 。

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

解题步骤 2.2

要将 $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ 。

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

解题步骤 2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ 的形式。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ 乘以 $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ 。

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ 乘以 $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ 。

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.3.3

重新排序 $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ 的因式。

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x)) + \sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

运用分配律。

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.3

运用分配律。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.2

将 $\sin (x)$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$\frac{\sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.3

将 $\sin (x) \cos (x)$ 和 $\sin (x) (- \cos (x))$ 相加。

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解题步骤 3.3.1

将 $\sin (x)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\frac{2 \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.3.2

从 $\sin (x) \cos (x)$ 中减去 $\sin (x) \cos (x)$ 。

$\frac{2 \sin (x) + 0}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.4

将 $2 \sin (x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ 。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{2 \sin (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 4.1.2

运用分配律。

$\frac{2 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$\frac{2 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

解题步骤 4.2

化简并合并同类项。

$\frac{2 \sin (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

解题步骤 5

使用勾股恒等式。

$\frac{2 \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 6

约去 $\sin (x)$ 和 ${\sin (x)}^{2}$ 的公因数。

$\frac{2}{\sin (x)}$

解题步骤 7

将 $\frac{2}{\sin (x)}$ 重写为 $2 \csc (x)$ 。

$2 \csc (x)$

解题步骤 8

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} = 2 \csc (x)$ 是一个恒等式

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