三角学示例

$\tan (\frac{π}{12})$

解题步骤 1

首先，将这个角拆分成两个角，这两个角的六个三角函数值都应是已知的。在本例中，

$\frac{π}{12}$ 可以被拆分为

$\frac{π}{3} - \frac{π}{4}$ 。

$\tan (\frac{π}{3} - \frac{π}{4})$

解题步骤 2

使用正切的差公式化简表达式。该公式表述为

$\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ 。

$\frac{\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 3

去掉圆括号。

$\frac{\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为

$\sqrt{3}$ 。

$\frac{\sqrt{3} - \tan (\frac{π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.2

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为

$1$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1 \cdot 1}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.3

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 5

化简分母。

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解题步骤 5.1

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为

$\sqrt{3}$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 5.2

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为

$1$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}$

解题步骤 5.3

将

$\sqrt{3}$ 乘以

$1$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$

解题步骤 6

将

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$ 乘以

$\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

解题步骤 7

合并分数。

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解题步骤 7.1

将

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$ 乘以

$\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ 。

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

解题步骤 7.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 7.3

化简。

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

从

$\sqrt{3}$ 中分解出因数

$- 1$ 。

$\frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 8.2

将

$- 1$ 重写为

$- 1 (1)$ 。

$\frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 8.3

从

$- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)$ 中分解出因数

$- 1$ 。

$\frac{- 1 (- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 8.4

重新排序项。

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 8.5

对

$1 - \sqrt{3}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

解题步骤 8.6

对

$1 - \sqrt{3}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1})}{- 2}$

解题步骤 8.7

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

解题步骤 8.8

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

解题步骤 9

将

${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ 重写为

$(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ 。

$\frac{- 1 ((1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

解题步骤 10

使用 FOIL 方法展开

$(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{- 1 (1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

解题步骤 10.2

运用分配律。

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

解题步骤 10.3

运用分配律。

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

解题步骤 11

化简并合并同类项。

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解题步骤 11.1

化简每一项。

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解题步骤 11.1.1

将

$1$ 乘以

$1$ 。

$\frac{- 1 (1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

解题步骤 11.1.2

将

$- \sqrt{3}$ 乘以

$1$ 。

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

解题步骤 11.1.3

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

解题步骤 11.1.4

乘以

$- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 11.1.4.1

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 11.1.4.2

将

$\sqrt{3}$ 乘以

$1$ 。

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 11.1.4.3

对

$\sqrt{3}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 11.1.4.4

对

$\sqrt{3}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{- 2}$

解题步骤 11.1.4.5

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1})}{- 2}$

解题步骤 11.1.4.6

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2})}{- 2}$

解题步骤 11.1.5

将

${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为

$3$ 。

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解题步骤 11.1.5.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{3}$ 重写成

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}{- 2}$

解题步骤 11.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{- 2}$

解题步骤 11.1.5.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

解题步骤 11.1.5.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 11.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

解题步骤 11.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1})}{- 2}$

解题步骤 11.1.5.5

计算指数。

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3)}{- 2}$

解题步骤 11.2

将

$1$ 和

$3$ 相加。

$\frac{- 1 (4 - \sqrt{3} - \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 11.3

从

$- \sqrt{3}$ 中减去

$\sqrt{3}$ 。

$\frac{- 1 (4 - 2 \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 12

约去

$4 - 2 \sqrt{3}$ 和

$- 2$ 的公因数。

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解题步骤 12.1

从

$- 1 (4 - 2 \sqrt{3})$ 中分解出因数

$2$ 。

$\frac{2 (- 1 (2 - \sqrt{3}))}{- 2}$

解题步骤 12.2

移动

$\frac{- 1 (2 - \sqrt{3})}{- 1}$ 中分母的负号。

$- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

解题步骤 13

将

$- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ 重写为

$- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ 。

$- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

解题步骤 14

运用分配律。

$- (- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

解题步骤 15

将

$- 1$ 乘以

$2$ 。

$- (- 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

解题步骤 16

乘以

$- 1 (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 16.1

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$- (- 2 + 1 \sqrt{3})$

解题步骤 16.2

将

$\sqrt{3}$ 乘以

$1$ 。

$- (- 2 + \sqrt{3})$

解题步骤 17

运用分配律。

$- - 2 - \sqrt{3}$

解题步骤 18

将

$- 1$ 乘以

$- 2$ 。

$2 - \sqrt{3}$

解题步骤 19

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$2 - \sqrt{3}$

小数形式：

$0.26794919 \dots$

三角学 示例

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