三角学示例

$z = 3 - 4 i$

解题步骤 1

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 2

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 3

代入 $a = 3$ 和 $b = - 4$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 3^{2}}$

解题步骤 4

求 $| z |$ 。

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解题步骤 4.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{16 + 3^{2}}$

解题步骤 4.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{16 + 9}$

解题步骤 4.3

将 $16$ 和 $9$ 相加。

$| z | = \sqrt{25}$

解题步骤 4.4

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{5^{2}}$

解题步骤 4.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 5$

解题步骤 5

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{- 4}{3})$

解题步骤 6

因为 $\frac{- 4}{3}$ 的反正切得出位于第四象限的一个角，所以其角度为 $- 0.92729521$ 。

$θ = - 0.92729521$

解题步骤 7

代入 $θ = - 0.92729521$ 和 $| z | = 5$ 的值。

$5 (\cos (- 0.92729521) + i \sin (- 0.92729521))$

解题步骤 8

使用三角函数替换等式的右边。

$z = 5 (\cos (- 0.92729521) + i \sin (- 0.92729521))$

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