三角学示例

tan (105)

$\tan (105)$

解题步骤 1

首先，将这个角拆分成两个角，这两个角的六个三角函数值都应是已知的。在本例中，

105

$105$ 可以被拆分为

45 + 60

$45 + 60$ 。

tan (45 + 60)

$\tan (45 + 60)$

解题步骤 2

使用两正切的和公式对表达式进行化简。该公式是

tan (A + B) = \frac{tan (A) + tan (B)}{1 - tan (A) tan (B)}

$\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ 。

\frac{tan (45) + tan (60)}{1 - tan (45) tan (60)}

$\frac{\tan (45) + \tan (60)}{1 - \tan (45) \tan (60)}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

tan (45)

$\tan (45)$ 的准确值为

1

$1$ 。

\frac{1 + tan (60)}{1 - tan (45) tan (60)}

$\frac{1 + \tan (60)}{1 - \tan (45) \tan (60)}$

解题步骤 3.2

tan (60)

$\tan (60)$ 的准确值为

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ 。

\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - tan (45) tan (60)}

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \tan (45) \tan (60)}$

\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - tan (45) tan (60)}

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \tan (45) \tan (60)}$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

tan (45)

$\tan (45)$ 的准确值为

1

$1$ 。

\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1 tan (60)}

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1 \tan (60)}$

解题步骤 4.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 tan (60)}

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \tan (60)}$

解题步骤 4.3

tan (60)

$\tan (60)$ 的准确值为

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ 。

\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \sqrt{3}}

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \sqrt{3}}$

解题步骤 4.4

将

- 1 \sqrt{3}

$- 1 \sqrt{3}$ 重写为

- \sqrt{3}

$- \sqrt{3}$ 。

\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

解题步骤 5

将

\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ 乘以

\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ 。

\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

解题步骤 6

合并分数。

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解题步骤 6.1

将

\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ 乘以

\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ 。

\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}$

解题步骤 6.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 6.3

化简。

\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

对

$1 + \sqrt{3}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 7.2

对

$1 + \sqrt{3}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} {(1 + \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

解题步骤 7.3

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

解题步骤 7.4

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

解题步骤 8

将

${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ 重写为

$(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ 。

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 9

使用 FOIL 方法展开

$(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 9.2

运用分配律。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 9.3

运用分配律。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 10

化简并合并同类项。

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解题步骤 10.1

化简每一项。

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解题步骤 10.1.1

将

$1$ 乘以

$1$ 。

$\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 10.1.2

将

$\sqrt{3}$ 乘以

$1$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 10.1.3

将

$\sqrt{3}$ 乘以

$1$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 10.1.4

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}$

解题步骤 10.1.5

将

$3$ 乘以

$3$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}$

解题步骤 10.1.6

将

$9$ 重写为

$3^{2}$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}$

解题步骤 10.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}$

解题步骤 10.2

将

$1$ 和

$3$ 相加。

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 10.3

将

$\sqrt{3}$ 和

$\sqrt{3}$ 相加。

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 11

约去

$4 + 2 \sqrt{3}$ 和

$- 2$ 的公因数。

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解题步骤 11.1

从

$4$ 中分解出因数

$2$ 。

$\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 11.2

从

$2 \sqrt{3}$ 中分解出因数

$2$ 。

$\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 11.3

从

$2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ 中分解出因数

$2$ 。

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 11.4

移动

$\frac{2 + \sqrt{3}}{- 1}$ 中分母的负号。

$- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$

解题步骤 12

将

$- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$ 重写为

$- (2 + \sqrt{3})$ 。

$- (2 + \sqrt{3})$

解题步骤 13

运用分配律。

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

解题步骤 14

将

$- 1$ 乘以

$2$ 。

$- 2 - \sqrt{3}$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- 2 - \sqrt{3}$

小数形式：

$- 3.73205080 \dots$

三角学 示例

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