三角学示例

${(1 + i)}^{4}$

解题步骤 1

使用二项式定理。

$1^{4} + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

一的任意次幂都为一。

$1 + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.2

一的任意次幂都为一。

$1 + 4 \cdot 1 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$1 + 4 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.4

一的任意次幂都为一。

$1 + 4 i + 6 \cdot 1 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.5

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$1 + 4 i + 6 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.6

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 4 i + 6 \cdot - 1 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.7

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.8

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$1 + 4 i - 6 + 4 i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.9

因式分解出 $i^{2}$ 。

$1 + 4 i - 6 + 4 (i^{2} \cdot i) + i^{4}$

解题步骤 2.1.10

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 4 i - 6 + 4 (- 1 \cdot i) + i^{4}$

解题步骤 2.1.11

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$1 + 4 i - 6 + 4 (- i) + i^{4}$

解题步骤 2.1.12

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$1 + 4 i - 6 - 4 i + i^{4}$

解题步骤 2.1.13

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.13.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(i^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.13.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(- 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.13.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1$

解题步骤 2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $1$ 中减去 $6$ 。

$- 5 + 4 i - 4 i + 1$

解题步骤 2.2.2

将 $- 5$ 和 $1$ 相加。

$- 4 + 4 i - 4 i$

解题步骤 2.2.3

从 $4 i$ 中减去 $4 i$ 。

$- 4 + 0$

解题步骤 2.2.4

将 $- 4$ 和 $0$ 相加。

$- 4$

解题步骤 3

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 4

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5

代入 $a = - 4$ 和 $b = 0$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 4)}^{2}}$

解题步骤 6

求 $| z |$ 。

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解题步骤 6.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| z | = \sqrt{0 + {(- 4)}^{2}}$

解题步骤 6.2

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{0 + 16}$

解题步骤 6.3

将 $0$ 和 $16$ 相加。

$| z | = \sqrt{16}$

解题步骤 6.4

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{4^{2}}$

解题步骤 6.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 4$

解题步骤 7

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{0}{- 4})$

解题步骤 8

因为 $\frac{0}{- 4}$ 的反正切得出位于第二象限的一个角，所以其角度为 $π$ 。

$θ = π$

解题步骤 9

代入 $θ = π$ 和 $| z | = 4$ 的值。

$4 (\cos (π) + i \sin (π))$

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