三角学示例

\tan (\frac{7 π}{8})

$\tan (\frac{7 π}{8})$

解题步骤 1

将

\frac{7 π}{8}

$\frac{7 π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以

2

$2$ 的角。

\tan (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})

$\tan (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

解题步骤 2

使用正切半角公式。

\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$

解题步骤 3

Change the

\pm

$\pm$ to

-

$-$ because tangent is negative in the second quadrant.

- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$

解题步骤 4

化简

- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$ 。

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解题步骤 4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$

解题步骤 4.2

\cos (\frac{π}{4})

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$

解题步骤 4.3

将

1

$1$ 写成具有公分母的分数。

- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$

解题步骤 4.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

解题步骤 4.6

\cos (\frac{π}{4})

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 4.7

将

1

$1$ 写成具有公分母的分数。

- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 4.8

在公分母上合并分子。

- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 4.9

将分子乘以分母的倒数。

- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

解题步骤 4.10

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 4.10.1

约去公因数。

- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

解题步骤 4.10.2

重写表达式。

- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}

$- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}$

- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}

$- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}$

解题步骤 4.11

将

\frac{1}{2 + \sqrt{2}}

$\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ 乘以

\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ 。

- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}

$- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}$

解题步骤 4.12

将

\frac{1}{2 + \sqrt{2}}

$\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ 乘以

\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ 。

- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}

$- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}$

解题步骤 4.13

使用 FOIL 方法来展开分母。

- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}

$- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}$

解题步骤 4.14

化简。

- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}

$- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 4.15

运用分配律。

- \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}

$- \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 4.16

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 4.16.1

约去公因数。

- \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}

$- \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 4.16.2

重写表达式。

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 4.17

组合

\frac{2 - \sqrt{2}}{2}

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 和

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ 。

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 4.18

化简每一项。

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解题步骤 4.18.1

运用分配律。

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 4.18.2

乘以

- \sqrt{2} \sqrt{2}

$- \sqrt{2} \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 4.18.2.1

对

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ 进行

1

$1$ 次方运算。

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}$

解题步骤 4.18.2.2

对

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ 进行

1

$1$ 次方运算。

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}$

解题步骤 4.18.2.3

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}$

解题步骤 4.18.2.4

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}$

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}$

解题步骤 4.18.3

化简每一项。

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解题步骤 4.18.3.1

将

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为

2

$2$ 。

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解题步骤 4.18.3.1.1

使用

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ 重写成

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ 。

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}$

解题步骤 4.18.3.1.2

运用幂法则并将指数相乘，

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}$

解题步骤 4.18.3.1.3

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

2

$2$ 。

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

解题步骤 4.18.3.1.4

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 4.18.3.1.4.1

约去公因数。

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

解题步骤 4.18.3.1.4.2

重写表达式。

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}$

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}$

解题步骤 4.18.3.1.5

计算指数。

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}$

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 4.18.3.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

2

$2$ 。

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}$

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}$

解题步骤 4.18.4

约去

2 \sqrt{2} - 2

$2 \sqrt{2} - 2$ 和

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 4.18.4.1

从

2 \sqrt{2}

$2 \sqrt{2}$ 中分解出因数

2

$2$ 。

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}$

解题步骤 4.18.4.2

从

- 2

$- 2$ 中分解出因数

2

$2$ 。

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}$

解题步骤 4.18.4.3

从

2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)

$2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ 中分解出因数

2

$2$ 。

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}$

解题步骤 4.18.4.4

约去公因数。

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解题步骤 4.18.4.4.1

从

2

$2$ 中分解出因数

2

$2$ 。

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}$

解题步骤 4.18.4.4.2

约去公因数。

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}$

解题步骤 4.18.4.4.3

重写表达式。

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}$

解题步骤 4.18.4.4.4

用

\sqrt{2} - 1

$\sqrt{2} - 1$ 除以

1

$1$ 。

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}$

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}$

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}$

解题步骤 4.18.5

运用分配律。

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}$

解题步骤 4.18.6

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}$

- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}$

解题步骤 4.19

将

2

$2$ 和

1

$1$ 相加。

- \sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}

$- \sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}$

解题步骤 4.20

从

- \sqrt{2}

$- \sqrt{2}$ 中减去

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ 。

- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}

$- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}

$- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}

$- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

小数形式：

- 0.41421356 \dots

$- 0.41421356 \dots$

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