三角学示例

$\cos (\frac{π}{4} + \frac{π}{3})$

解题步骤 1

要将 $\frac{π}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\cos (\frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3})$

解题步骤 2

要将 $\frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\cos (\frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\cos (\frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

解题步骤 3.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\cos (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

解题步骤 3.3

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\cos (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4})$

解题步骤 3.4

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\cos (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12})$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\cos (\frac{π \cdot 3 + π \cdot 4}{12})$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$\cos (\frac{3 \cdot π + π \cdot 4}{12})$

解题步骤 5.2

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\cos (\frac{3 π + 4 \cdot π}{12})$

解题步骤 5.3

将 $3 π$ 和 $4 π$ 相加。

$\cos (\frac{7 π}{12})$

解题步骤 6

$\cos (\frac{7 π}{12})$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{7 π}{12}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

解题步骤 6.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

解题步骤 6.3

由于余弦在第二象限中为负，所以将 $\pm$ 变为 $-$ 。

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

解题步骤 6.4

化简 $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ 。

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解题步骤 6.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

解题步骤 6.4.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

解题步骤 6.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

解题步骤 6.4.4

在公分母上合并分子。

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}}$

解题步骤 6.4.5

将分子乘以分母的倒数。

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

解题步骤 6.4.6

乘以 $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 6.4.6.1

将 $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 6.4.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$

解题步骤 6.4.7

将 $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 6.4.8

化简分母。

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解题步骤 6.4.8.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 6.4.8.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

小数形式：

$- 0.25881904 \dots$

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