三角学示例

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} = 2 \csc (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

要将 $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 。

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 2.2

要将 $\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ 。

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

解题步骤 2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 + \cos (x)) \sin (x)$ 的形式。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ 乘以 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 + \cos (x)) \sin (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ 。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 + \cos (x)) \sin (x)} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 2.3.3

重新排序 $(1 + \cos (x)) \sin (x)$ 的因式。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\sin (x) \sin (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 2.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.1

乘以 $\sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 2.5.1.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 2.5.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 2.5.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin^{2} (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 2.5.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

运用分配律。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 (1 + \cos (x)) + \cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 2.5.2.2

运用分配律。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 2.5.2.3

运用分配律。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 2.5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 2.5.3.1.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 2.5.3.1.3

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 2.5.3.1.4

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.4.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 2.5.3.1.4.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 2.5.3.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 2.5.3.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 2.5.3.2

将 $\cos (x)$ 和 $\cos (x)$ 相加。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 2.5.4

以因式分解的形式重写 $\sin^{2} (x) + 1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.5.4.1

重新组合项。

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 1 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 2.5.4.2

使用勾股恒等式。

$\frac{1 + 1 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 2.5.4.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 2.5.4.4

从 $2 + 2 \cos (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.5.4.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 2.5.4.4.2

从 $2 \cdot 1 + 2 \cos (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 2.6

约去 $1 + \cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1

约去公因数。

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 2.6.2

重写表达式。

$\frac{2}{\sin (x)}$

解题步骤 3

将 $\frac{2}{\sin (x)}$ 重写为 $2 \csc (x)$ 。

$2 \csc (x)$

解题步骤 4

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} = 2 \csc (x)$ 是一个恒等式

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