三角学示例

sin (2 x) - sin (x) = 0

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 1

使用正弦倍角公式。

2 sin (x) cos (x) - sin (x) = 0

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 2

从

2 sin (x) cos (x) - sin (x)

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ 中分解出因数

sin (x)

$\sin (x)$ 。

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解题步骤 2.1

从

2 sin (x) cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数

sin (x)

$\sin (x)$ 。

sin (x) (2 cos (x)) - sin (x) = 0

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

解题步骤 2.2

从

- sin (x)

$- \sin (x)$ 中分解出因数

sin (x)

$\sin (x)$ 。

sin (x) (2 cos (x)) + sin (x) \cdot - 1 = 0

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

解题步骤 2.3

从

sin (x) (2 cos (x)) + sin (x) \cdot - 1

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ 中分解出因数

sin (x)

$\sin (x)$ 。

sin (x) (2 cos (x) - 1) = 0

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

sin (x) (2 cos (x) - 1) = 0

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于

0

$0$ ，则整个表达式将等于

0

$0$ 。

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

2 cos (x) - 1 = 0

$2 \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 4

将

sin (x)

$\sin (x)$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 4.1

将

sin (x)

$\sin (x)$ 设为等于

0

$0$ 。

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

解题步骤 4.2

求解

x

$x$ 的

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的

x

$x$ 。

x = arcsin (0)

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

arcsin (0)

$\arcsin (0)$ 的准确值为

0

$0$ 。

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

解题步骤 4.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从

π

$π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

x = π - 0

$x = π - 0$

解题步骤 4.2.4

从

π

$π$ 中减去

0

$0$ 。

x = π

$x = π$

解题步骤 4.2.5

求

sin (x)

$\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.5.1

函数的周期可利用

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.5.2

使用周期公式中的

1

$1$ 替换

b

$b$ 。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

1

$1$ 之间的距离为

1

$1$ 。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.5.4

用

2 π

$2 π$ 除以

1

$1$ 。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

解题步骤 4.2.6

sin (x)

$\sin (x)$ 函数的周期为

2 π

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

2 π

$2 π$ 弧度将重复出现。

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 5

将

2 cos (x) - 1

$2 \cos (x) - 1$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 5.1

将

2 cos (x) - 1

$2 \cos (x) - 1$ 设为等于

0

$0$ 。

2 cos (x) - 1 = 0

$2 \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解

x

$x$ 的

2 cos (x) - 1 = 0

$2 \cos (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上

1

$1$ 。

2 cos (x) = 1

$2 \cos (x) = 1$

解题步骤 5.2.2

将

2 cos (x) = 1

$2 \cos (x) = 1$ 中的每一项除以

2

$2$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将

2 cos (x) = 1

$2 \cos (x) = 1$ 中的每一项都除以

2

$2$ 。

\frac{2 cos (x)}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用

$\cos (x)$ 除以

$1$ 。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的

$x$ 。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

解题步骤 5.2.4

化简右边。

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解题步骤 5.2.4.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 的准确值为

$\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从

$2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.6

化简

$2 π - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 5.2.6.1

要将

$2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.6.2.1

组合

$2 π$ 和

$\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 5.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.6.3.1

将

$3$ 乘以

$2$ 。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 5.2.6.3.2

从

$6 π$ 中减去

$π$ 。

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 5.2.7

求

$\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.7.1

函数的周期可利用

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.7.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.7.4

用

$2 π$ 除以

$1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 6

最终解为使

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 7

将

$2 π n$ 和

$π + 2 π n$ 合并为

$π n$ 。

$x = π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

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