三角学示例

csc (θ) = 2

$\csc (θ) = 2$

解题步骤 1

使用余割的定义求单位圆直角三角形的已知边。所在象限将决定每一个值的正负号。

csc (θ) = \frac{斜边}{对边}

$\csc (θ) = \frac{斜边}{对边}$

解题步骤 2

求单位圆三角形的邻边。由于斜边和对边已知，使用勾股定理即可求最后一条边。

邻边 = \sqrt{{斜边}^{2} - {对边}^{2}}

$邻边 = \sqrt{{斜边}^{2} - {对边}^{2}}$

解题步骤 3

替换方程中的已知值。

邻边 = \sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}

$邻边 = \sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}$

解题步骤 4

化简根式内部。

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解题步骤 4.1

对

2

$2$ 进行

2

$2$ 次方运算。

邻边

= \sqrt{4 - {(1)}^{2}}

$= \sqrt{4 - {(1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

一的任意次幂都为一。

邻边

= \sqrt{4 - 1 \cdot 1}

$= \sqrt{4 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 4.3

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

邻边

= \sqrt{4 - 1}

$= \sqrt{4 - 1}$

解题步骤 4.4

从

4

$4$ 中减去

1

$1$ 。

邻边

= \sqrt{3}

$= \sqrt{3}$

邻边

= \sqrt{3}

$= \sqrt{3}$

解题步骤 5

求正弦值。

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解题步骤 5.1

使用正弦的定义求

sin (θ)

$\sin (θ)$ 的值。

sin (θ) = \frac{opp}{hyp}

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

解题步骤 5.2

代入已知值。

sin (θ) = \frac{1}{2}

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

sin (θ) = \frac{1}{2}

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

解题步骤 6

求余弦值。

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解题步骤 6.1

使用余弦的定义求

cos (θ)

$\cos (θ)$ 的值。

cos (θ) = \frac{adj}{hyp}

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

解题步骤 6.2

代入已知值。

cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7

求正切值。

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解题步骤 7.1

使用正切的定义求

tan (θ)

$\tan (θ)$ 的值。

tan (θ) = \frac{opp}{adj}

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

解题步骤 7.2

代入已知值。

tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{3}}

$\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 7.3

化简

tan (θ)

$\tan (θ)$ 的值。

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解题步骤 7.3.1

将

\frac{1}{\sqrt{3}}

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 7.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 7.3.2.1

将

\frac{1}{\sqrt{3}}

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 7.3.2.2

对

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ 进行

1

$1$ 次方运算。

tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 7.3.2.3

对

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ 进行

1

$1$ 次方运算。

tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 7.3.2.4

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.3.2.5

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 7.3.2.6

将

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为

3

$3$ 。

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解题步骤 7.3.2.6.1

使用

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ 重写成

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.3.2.6.3

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

2

$2$ 。

tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.3.2.6.4

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.6.4.1

约去公因数。

tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.3.2.6.4.2

重写表达式。

tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 7.3.2.6.5

计算指数。

tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 8

求余切值。

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解题步骤 8.1

使用余切的定义求

cot (θ)

$\cot (θ)$ 的值。

cot (θ) = \frac{adj}{opp}

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

解题步骤 8.2

代入已知值。

cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{1}

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{1}$

解题步骤 8.3

用

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ 除以

1

$1$ 。

cot (θ) = \sqrt{3}

$\cot (θ) = \sqrt{3}$

cot (θ) = \sqrt{3}

$\cot (θ) = \sqrt{3}$

解题步骤 9

求正割值。

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解题步骤 9.1

使用正割的定义求

sec (θ)

$\sec (θ)$ 的值。

sec (θ) = \frac{hyp}{adj}

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

解题步骤 9.2

代入已知值。

sec (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}}

$\sec (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}}$

解题步骤 9.3

化简

sec (θ)

$\sec (θ)$ 的值。

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解题步骤 9.3.1

将

\frac{2}{\sqrt{3}}

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

sec (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\sec (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 9.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 9.3.2.1

将

\frac{2}{\sqrt{3}}

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 9.3.2.2

对

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ 进行

1

$1$ 次方运算。

sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 9.3.2.3

对

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ 进行

1

$1$ 次方运算。

sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 9.3.2.4

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.3.2.5

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 9.3.2.6

将

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为

3

$3$ 。

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解题步骤 9.3.2.6.1

使用

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ 重写成

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.3.2.6.3

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

2

$2$ 。

sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.2.6.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.6.4.1

约去公因数。

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.2.6.4.2

重写表达式。

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 9.3.2.6.5

计算指数。

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 10

这是各个三角函数值的解。

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot (θ) = \sqrt{3}$

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\csc (θ) = 2$

三角学 示例

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