三角学示例

{(cos (θ) - sin (θ))}^{2}

${(\cos (θ) - \sin (θ))}^{2}$

解题步骤 1

将

{(cos (θ) - sin (θ))}^{2}

${(\cos (θ) - \sin (θ))}^{2}$ 重写为

(cos (θ) - sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ))

$(\cos (θ) - \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ 。

(cos (θ) - sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ))

$(\cos (θ) - \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开

(cos (θ) - sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ))

$(\cos (θ) - \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

cos (θ) (cos (θ) - sin (θ)) - sin (θ) (cos (θ) - sin (θ))

$\cos (θ) (\cos (θ) - \sin (θ)) - \sin (θ) (\cos (θ) - \sin (θ))$

解题步骤 2.2

运用分配律。

cos (θ) cos (θ) + cos (θ) (- sin (θ)) - sin (θ) (cos (θ) - sin (θ))

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - \sin (θ) (\cos (θ) - \sin (θ))$

解题步骤 2.3

运用分配律。

cos (θ) cos (θ) + cos (θ) (- sin (θ)) - sin (θ) cos (θ) - sin (θ) (- sin (θ))

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - \sin (θ) \cos (θ) - \sin (θ) (- \sin (θ))$

cos (θ) cos (θ) + cos (θ) (- sin (θ)) - sin (θ) cos (θ) - sin (θ) (- sin (θ))

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - \sin (θ) \cos (θ) - \sin (θ) (- \sin (θ))$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

乘以

cos (θ) cos (θ)

$\cos (θ) \cos (θ)$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

对

cos (θ)

$\cos (θ)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

{cos}^{1} (θ) cos (θ) + cos (θ) (- sin (θ)) - sin (θ) cos (θ) - sin (θ) (- sin (θ))

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - \sin (θ) \cos (θ) - \sin (θ) (- \sin (θ))$

解题步骤 3.1.1.2

对

cos (θ)

$\cos (θ)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

{cos}^{1} (θ) {cos}^{1} (θ) + cos (θ) (- sin (θ)) - sin (θ) cos (θ) - sin (θ) (- sin (θ))

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - \sin (θ) \cos (θ) - \sin (θ) (- \sin (θ))$

解题步骤 3.1.1.3

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

{cos (θ)}^{1 + 1} + cos (θ) (- sin (θ)) - sin (θ) cos (θ) - sin (θ) (- sin (θ))

${\cos (θ)}^{1 + 1} + \cos (θ) (- \sin (θ)) - \sin (θ) \cos (θ) - \sin (θ) (- \sin (θ))$

解题步骤 3.1.1.4

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

{cos}^{2} (θ) + cos (θ) (- sin (θ)) - sin (θ) cos (θ) - sin (θ) (- sin (θ))

$\cos^{2} (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - \sin (θ) \cos (θ) - \sin (θ) (- \sin (θ))$

解题步骤 3.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \sin (θ) (- \sin (θ))$

解题步骤 3.1.3

乘以

$- \sin (θ) (- \sin (θ))$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ) + 1 \sin (θ) \sin (θ)$

解题步骤 3.1.3.2

将

$\sin (θ)$ 乘以

$1$ 。

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \sin (θ)$

解题步骤 3.1.3.3

对

$\sin (θ)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ) + \sin^{1} (θ) \sin (θ)$

解题步骤 3.1.3.4

对

$\sin (θ)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ) + \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)$

解题步骤 3.1.3.5

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ) + {\sin (θ)}^{1 + 1}$

解题步骤 3.1.3.6

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ) + \sin^{2} (θ)$

解题步骤 3.2

重新排序

$- \sin (θ) \cos (θ)$ 的因式。

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{2} (θ)$

解题步骤 3.3

从

$- \cos (θ) \sin (θ)$ 中减去

$\cos (θ) \sin (θ)$ 。

$\cos^{2} (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{2} (θ)$

解题步骤 4

移动

$\sin^{2} (θ)$ 。

$\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

解题步骤 5

重新整理项。

$\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

解题步骤 6

使用勾股恒等式。

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

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