三角学示例

$\tan (105)$

解题步骤 1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$- \tan (75)$

解题步骤 2

将 $75$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$- \tan (30 + 45)$

解题步骤 3

使用两角和公式。

$- \frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

解题步骤 4

$\tan (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

解题步骤 5

$\tan (45)$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

解题步骤 6

$\tan (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)}$

解题步骤 7

$\tan (45)$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

解题步骤 8

化简 $- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ 。

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解题步骤 8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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解题步骤 8.1.1

将 $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- (\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1})$

解题步骤 8.1.2

合并。

$- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$- \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

解题步骤 8.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1

约去公因数。

$- \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

解题步骤 8.3.2

重写表达式。

$- \frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

解题步骤 8.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

解题步骤 8.5

化简分母。

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解题步骤 8.5.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

解题步骤 8.5.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}$

解题步骤 8.5.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.5.3.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

解题步骤 8.5.3.2

约去公因数。

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

解题步骤 8.5.3.3

重写表达式。

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$

解题步骤 8.6

将 $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ 。

$- (\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

解题步骤 8.7

将 $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ 。

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

解题步骤 8.8

使用 FOIL 方法来展开分母。

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 8.9

化简。

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 8.10

化简分子。

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解题步骤 8.10.1

重新排序项。

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 8.10.2

对 $3 + \sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} (3 + \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 8.10.3

对 $3 + \sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} {(3 + \sqrt{3})}^{1}}{6}$

解题步骤 8.10.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

解题步骤 8.10.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6}$

解题步骤 8.11

将 ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ 。

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 8.12

使用 FOIL 方法展开 $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 8.12.1

运用分配律。

$- \frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 8.12.2

运用分配律。

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 8.12.3

运用分配律。

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 8.13

化简并合并同类项。

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解题步骤 8.13.1

化简每一项。

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解题步骤 8.13.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 8.13.1.2

将 $3$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 8.13.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

解题步骤 8.13.1.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

解题步骤 8.13.1.5

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

解题步骤 8.13.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

解题步骤 8.13.2

将 $9$ 和 $3$ 相加。

$- \frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 8.13.3

将 $3 \sqrt{3}$ 和 $3 \sqrt{3}$ 相加。

$- \frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 8.14

约去 $12 + 6 \sqrt{3}$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 8.14.1

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 8.14.2

从 $6 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $6$ 。

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6}$

解题步骤 8.14.3

从 $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ 中分解出因数 $6$ 。

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 8.14.4

约去公因数。

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解题步骤 8.14.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)}$

解题步骤 8.14.4.2

约去公因数。

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

解题步骤 8.14.4.3

重写表达式。

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

解题步骤 8.14.4.4

用 $2 + \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$- (2 + \sqrt{3})$

解题步骤 8.15

运用分配律。

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

解题步骤 8.16

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 - \sqrt{3}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- 2 - \sqrt{3}$

小数形式：

$- 3.73205080 \dots$

三角学 示例

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