三角学示例

$\tan^{5} (x) - 9 \tan (x) = 0$

解题步骤 1

对 $\tan^{5} (x) - 9 \tan (x)$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

从 $\tan^{5} (x) - 9 \tan (x)$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $\tan^{5} (x)$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) \tan^{4} (x) - 9 \tan (x) = 0$

解题步骤 1.1.2

从 $- 9 \tan (x)$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) \tan^{4} (x) + \tan (x) \cdot - 9 = 0$

解题步骤 1.1.3

从 $\tan (x) \tan^{4} (x) + \tan (x) \cdot - 9$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) (\tan^{4} (x) - 9) = 0$

解题步骤 1.2

将 $\tan^{4} (x)$ 重写为 ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ 。

$\tan (x) ({(\tan^{2} (x))}^{2} - 9) = 0$

解题步骤 1.3

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\tan (x) ({(\tan^{2} (x))}^{2} - 3^{2}) = 0$

解题步骤 1.4

因数。

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解题步骤 1.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \tan^{2} (x)$ 和 $b = 3$ 。

$\tan (x) ((\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3)) = 0$

解题步骤 1.4.2

去掉多余的括号。

$\tan (x) (\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\tan (x) = 0$

$\tan^{2} (x) + 3 = 0$

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

解题步骤 3

将 $\tan (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\tan (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (x) = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $\tan (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (0)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.2.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + 0$

解题步骤 3.2.4

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$x = π$

解题步骤 3.2.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 3.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 3.2.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 3.2.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

将 $\tan^{2} (x) + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\tan^{2} (x) + 3$ 设为等于 $0$ 。

$\tan^{2} (x) + 3 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\tan^{2} (x) + 3 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$\tan^{2} (x) = - 3$

解题步骤 4.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 3}$

解题步骤 4.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 3}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$\tan (x) = \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\tan (x) = i \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\tan (x) = - i \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\tan (x) = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.5

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\tan (x) = i \sqrt{3}$

$\tan (x) = - i \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.6

在 $\tan (x) = i \sqrt{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.6.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (i \sqrt{3})$

解题步骤 4.2.6.2

$\arctan (i \sqrt{3})$ 的反正切无意义。

无定义

解题步骤 4.2.7

在 $\tan (x) = - i \sqrt{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.7.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- i \sqrt{3})$

解题步骤 4.2.7.2

$\arctan (- i \sqrt{3})$ 的反正切无意义。

无定义

解题步骤 4.2.8

列出所有解。

无解

解题步骤 5

将 $\tan^{2} (x) - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\tan^{2} (x) - 3$ 设为等于 $0$ 。

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\tan^{2} (x) - 3 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$\tan^{2} (x) = 3$

解题步骤 5.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\tan (x) = \pm \sqrt{3}$

解题步骤 5.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\tan (x) = \sqrt{3}$

解题步骤 5.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

解题步骤 5.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 5.2.4

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

解题步骤 5.2.5

在 $\tan (x) = \sqrt{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.5.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (\sqrt{3})$

解题步骤 5.2.5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.5.2.1

$\arctan (\sqrt{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.5.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.5.4

化简 $π + \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 5.2.5.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.5.4.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.5.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.5.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

解题步骤 5.2.5.4.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.5.4.3.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

解题步骤 5.2.5.4.3.2

将 $3 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 5.2.5.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.5.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 5.2.5.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.5.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 5.2.5.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 5.2.5.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.6

在 $\tan (x) = - \sqrt{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.6.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

解题步骤 5.2.6.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.6.2.1

$\arctan (- \sqrt{3})$ 的准确值为 $- \frac{π}{3}$ 。

$x = - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.6.3

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - \frac{π}{3} - π$

解题步骤 5.2.6.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 5.2.6.4.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{3} - π$ 。

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

解题步骤 5.2.6.4.2

得出的角 $\frac{2 π}{3}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{3} - π$ 共边。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.2.6.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.6.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 5.2.6.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 5.2.6.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 5.2.6.6

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 5.2.6.6.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{3}$ 以求正角。

$- \frac{π}{3} + π$

解题步骤 5.2.6.6.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.6.6.3

合并分数。

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解题步骤 5.2.6.6.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.6.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 5.2.6.6.4

化简分子。

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解题步骤 5.2.6.6.4.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

解题步骤 5.2.6.6.4.2

从 $3 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.2.6.6.5

列出新角。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.2.6.7

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.7

列出所有解。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.8

合并解集。

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解题步骤 5.2.8.1

将 $\frac{π}{3} + π n$ 和 $\frac{4 π}{3} + π n$ 合并为 $\frac{π}{3} + π n$ 。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.8.2

将 $\frac{2 π}{3} + π n$ 和 $\frac{2 π}{3} + π n$ 合并为 $\frac{2 π}{3} + π n$ 。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

最终解为使 $\tan (x) (\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = π n, π + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

合并答案。

$x = \frac{π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

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