三角学示例

$2 (1 - \cos^{2} (x)) = \frac{3}{2}$

解题步骤 1

将 $2 (1 - \cos^{2} (x)) = \frac{3}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.1

将 $2 (1 - \cos^{2} (x)) = \frac{3}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (1 - \cos^{2} (x))}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2}$

解题步骤 1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (1 - \cos^{2} (x))}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2}$

解题步骤 1.2.1.2

用 $1 - \cos^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$1 - \cos^{2} (x) = \frac{\frac{3}{2}}{2}$

解题步骤 1.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$1 - \cos^{2} (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.2

乘以 $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$1 - \cos^{2} (x) = \frac{3}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$1 - \cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

解题步骤 2

将所有不包含 $\cos (x)$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \cos^{2} (x) = \frac{3}{4} - 1$

解题步骤 2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- \cos^{2} (x) = \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$- \cos^{2} (x) = \frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$- \cos^{2} (x) = \frac{3 - 1 \cdot 4}{4}$

解题步骤 2.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- \cos^{2} (x) = \frac{3 - 4}{4}$

解题步骤 2.5.2

从 $3$ 中减去 $4$ 。

$- \cos^{2} (x) = \frac{- 1}{4}$

解题步骤 2.6

将负号移到分数的前面。

$- \cos^{2} (x) = - \frac{1}{4}$

解题步骤 3

将 $- \cos^{2} (x) = - \frac{1}{4}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.1

将 $- \cos^{2} (x) = - \frac{1}{4}$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos^{2} (x)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{4}}{- 1}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} = \frac{- \frac{1}{4}}{- 1}$

解题步骤 3.2.2

用 $\cos^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) = \frac{- \frac{1}{4}}{- 1}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\cos^{2} (x) = \frac{\frac{1}{4}}{1}$

解题步骤 3.3.2

用 $\frac{1}{4}$ 除以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{4}$

解题步骤 4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

解题步骤 5

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\sqrt{\frac{1}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 5.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

解题步骤 5.3

化简分母。

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解题步骤 5.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 5.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{2}$

解题步骤 6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

解题步骤 7

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 8

在 $\cos (x) = \frac{1}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

解题步骤 8.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $60$ 。

$x = 60$

解题步骤 8.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $360$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 360 - 60$

解题步骤 8.4

从 $360$ 中减去 $60$ 。

$x = 300$

解题步骤 8.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 8.5.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 8.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 8.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 8.5.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 8.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$x = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

在 $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

解题步骤 9.2

化简右边。

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解题步骤 9.2.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $120$ 。

$x = 120$

解题步骤 9.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $360$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 360 - 120$

解题步骤 9.4

从 $360$ 中减去 $120$ 。

$x = 240$

解题步骤 9.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 9.5.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 9.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 9.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 9.5.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 9.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$x = 120 + 360 n, 240 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

列出所有解。

$x = 60 + 360 n, 300 + 360 n, 120 + 360 n, 240 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11

合并解集。

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解题步骤 11.1

将 $60 + 360 n$ 和 $240 + 360 n$ 合并为 $60 + 180 n$ 。

$x = 60 + 180 n, 300 + 360 n, 120 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11.2

将 $300 + 360 n$ 和 $120 + 360 n$ 合并为 $120 + 180 n$ 。

$x = 60 + 180 n, 120 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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