三角学示例

$2 \sin (x) \tan (x) + \tan (x) = 0$

解题步骤 1

化简等式左边。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$2 \sin (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \tan (x) = 0$

解题步骤 1.1.2

乘以 $2 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

组合 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)} \cdot \sin (x) + \tan (x) = 0$

解题步骤 1.1.2.2

组合 $\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) \cdot (2 \sin (x))}{\cos (x)} + \tan (x) = 0$

解题步骤 1.1.2.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \tan (x) = 0$

解题步骤 1.1.2.4

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \tan (x) = 0$

解题步骤 1.1.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \tan (x) = 0$

解题步骤 1.1.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \tan (x) = 0$

解题步骤 1.1.3

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 1.2.2

分离分数。

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 1.2.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 1.2.4

用 $2 (\sin (x))$ 除以 $1$ 。

$2 (\sin (x)) \tan (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 1.2.5

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$2 \sin (x) \tan (x) + \tan (x) = 0$

解题步骤 2

从 $2 \sin (x) \tan (x) + \tan (x)$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

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解题步骤 2.1

从 $2 \sin (x) \tan (x)$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) (2 \sin (x)) + \tan (x) = 0$

解题步骤 2.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan (x) (2 \sin (x)) + \tan (x) = 0$

解题步骤 2.3

从 $\tan^{1} (x)$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) (2 \sin (x)) + \tan (x) \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.4

从 $\tan (x) (2 \sin (x)) + \tan (x) \cdot 1$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\tan (x) = 0$

$2 \sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 4

将 $\tan (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\tan (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (x) = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\tan (x) = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (0)$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 4.2.3

正切函数在第一和第三象限为正值。若要求第二个解，应从 $180$ 中减去参考角以求得第四象限中的解。

$x = 180 + 0$

解题步骤 4.2.4

将 $180$ 和 $0$ 相加。

$x = 180$

解题步骤 4.2.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{180}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{180}{| b |}$

解题步骤 4.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{180}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{180}{1}$

解题步骤 4.2.5.4

用 $180$ 除以 $1$ 。

$180$

解题步骤 4.2.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $180$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $180$ 度数重复出现。

$x = 180 n, 180 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $2 \sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $2 \sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $2 \sin (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 \sin (x) = - 1$

解题步骤 5.2.2

将 $2 \sin (x) = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $2 \sin (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

解题步骤 5.2.4

化简右边。

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解题步骤 5.2.4.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $- 30$ 。

$x = - 30$

解题步骤 5.2.5

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $360$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $180$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 360 + 30 + 180$

解题步骤 5.2.6

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 5.2.6.1

从 $360 + 30 + 180 °$ 中减去 $360 °$ 。

$x = 360 + 30 + 180 ° - 360 °$

解题步骤 5.2.6.2

得出的角 $210 °$ 是正角度，比 $360 °$ 小，且与 $360 + 30 + 180$ 共边。

$x = 210 °$

解题步骤 5.2.7

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 5.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 5.2.7.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 5.2.8

将 $360$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 5.2.8.1

将 $360$ 加到 $- 30$ 以求正角。

$- 30 + 360$

解题步骤 5.2.8.2

从 $360$ 中减去 $30$ 。

$330$

解题步骤 5.2.8.3

列出新角。

$x = 330$

解题步骤 5.2.9

$\sin (x)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$x = 210 + 360 n, 330 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

最终解为使 $\tan (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 180 n, 180 + 180 n, 210 + 360 n, 330 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

将 $180 n$ 和 $180 + 180 n$ 合并为 $180 n$ 。

$x = 180 n, 210 + 360 n, 330 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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