三角学示例

$9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 = - 8 \sin (θ) + 6$

解题步骤 1

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $8 \sin (θ)$ 。

$9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 + 8 \sin (θ) = 6$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $6$ 。

$9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 + 8 \sin (θ) - 6 = 0$

解题步骤 2

化简 $9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 + 8 \sin (θ) - 6$ 。

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解题步骤 2.1

将 $- 24 \sin (θ)$ 和 $8 \sin (θ)$ 相加。

$9 \cos^{2} (θ) - 10 - 16 \sin (θ) - 6 = 0$

解题步骤 2.2

从 $- 10$ 中减去 $6$ 。

$9 \cos^{2} (θ) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

解题步骤 3

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $9 (1 - \sin^{2} (θ))$ 替换 $9 \cos^{2} (θ)$ 。

$9 (1 - \sin^{2} (θ)) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$9 \cdot 1 + 9 (- \sin^{2} (θ)) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

解题步骤 4.2

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$9 + 9 (- \sin^{2} (θ)) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$9 - 9 \sin^{2} (θ) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

解题步骤 5

从 $9$ 中减去 $16$ 。

$- 9 \sin^{2} (θ) - 7 - 16 \sin (θ) = 0$

解题步骤 6

重新排列多项式。

$- 9 \sin^{2} (θ) - 16 \sin (θ) - 7 = 0$

解题步骤 7

代入 $u$ 替换 $\sin (θ)$ 。

$- 9 {(u)}^{2} - 16 u - 7 = 0$

解题步骤 8

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 8.1

从 $- 9 u^{2} - 16 u - 7$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 8.1.1

从 $- 9 u^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (9 u^{2}) - 16 u - 7 = 0$

解题步骤 8.1.2

从 $- 16 u$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (9 u^{2}) - (16 u) - 7 = 0$

解题步骤 8.1.3

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$- (9 u^{2}) - (16 u) - 1 \cdot 7 = 0$

解题步骤 8.1.4

从 $- (9 u^{2}) - (16 u)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (9 u^{2} + 16 u) - 1 \cdot 7 = 0$

解题步骤 8.1.5

从 $- (9 u^{2} + 16 u) - 1 (7)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (9 u^{2} + 16 u + 7) = 0$

解题步骤 8.2

因数。

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解题步骤 8.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 8.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 9 \cdot 7 = 63$ 并且它们的和为 $b = 16$ 。

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解题步骤 8.2.1.1.1

从 $16 u$ 中分解出因数 $16$ 。

$- (9 u^{2} + 16 u + 7) = 0$

解题步骤 8.2.1.1.2

把 $16$ 重写为 $7$ 加 $9$

$- (9 u^{2} + (7 + 9) u + 7) = 0$

解题步骤 8.2.1.1.3

运用分配律。

$- (9 u^{2} + 7 u + 9 u + 7) = 0$

解题步骤 8.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 8.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$- (9 u^{2} + 7 u + 9 u + 7) = 0$

解题步骤 8.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$- (u (9 u + 7) + 1 (9 u + 7)) = 0$

解题步骤 8.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $9 u + 7$ 来因式分解多项式。

$- ((9 u + 7) (u + 1)) = 0$

解题步骤 8.2.2

去掉多余的括号。

$- (9 u + 7) (u + 1) = 0$

解题步骤 9

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$9 u + 7 = 0$

$u + 1 = 0$

解题步骤 10

将 $9 u + 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 10.1

将 $9 u + 7$ 设为等于 $0$ 。

$9 u + 7 = 0$

解题步骤 10.2

求解 $u$ 的 $9 u + 7 = 0$ 。

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解题步骤 10.2.1

从等式两边同时减去 $7$ 。

$9 u = - 7$

解题步骤 10.2.2

将 $9 u = - 7$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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解题步骤 10.2.2.1

将 $9 u = - 7$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 7}{9}$

解题步骤 10.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 10.2.2.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 7}{9}$

解题步骤 10.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{- 7}{9}$

解题步骤 10.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 10.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{7}{9}$

解题步骤 11

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 11.1

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

解题步骤 11.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u = - 1$

解题步骤 12

最终解为使 $- (9 u + 7) (u + 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = - \frac{7}{9}, - 1$

解题步骤 13

代入 $\sin (θ)$ 替换 $u$ 。

$\sin (θ) = - \frac{7}{9}, - 1$

解题步骤 14

建立每一个解以求解 $θ$ 。

$\sin (θ) = - \frac{7}{9}$

$\sin (θ) = - 1$

解题步骤 15

在 $\sin (θ) = - \frac{7}{9}$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 15.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $θ$ 。

$θ = \arcsin (- \frac{7}{9})$

解题步骤 15.2

化简右边。

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解题步骤 15.2.1

计算 $\arcsin (- \frac{7}{9})$ 。

$θ = - 51.05755873$

解题步骤 15.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $360$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $180$ 相加以求第三象限中的解。

$θ = 360 + 51.05755873 + 180$

解题步骤 15.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 15.4.1

从 $360 + 51.05755873 + 180 °$ 中减去 $360 °$ 。

$θ = 360 + 51.05755873 + 180 ° - 360 °$

解题步骤 15.4.2

得出的角 $231.05755873 °$ 是正角度，比 $360 °$ 小，且与 $360 + 51.05755873 + 180$ 共边。

$θ = 231.05755873 °$

解题步骤 15.5

求 $\sin (θ)$ 的周期。

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解题步骤 15.5.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 15.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 15.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 15.5.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 15.6

将 $360$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 15.6.1

将 $360$ 加到 $- 51.05755873$ 以求正角。

$- 51.05755873 + 360$

解题步骤 15.6.2

从 $360$ 中减去 $51.05755873$ 。

$308.94244126$

解题步骤 15.6.3

列出新角。

$θ = 308.94244126$

解题步骤 15.7

$\sin (θ)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$θ = 231.05755873 + 360 n, 308.94244126 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 16

在 $\sin (θ) = - 1$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 16.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $θ$ 。

$θ = \arcsin (- 1)$

解题步骤 16.2

化简右边。

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解题步骤 16.2.1

$\arcsin (- 1)$ 的准确值为 $- 90$ 。

$θ = - 90$

解题步骤 16.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $360$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $180$ 相加以求第三象限中的解。

$θ = 360 + 90 + 180$

解题步骤 16.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 16.4.1

从 $360 + 90 + 180 °$ 中减去 $360 °$ 。

$θ = 360 + 90 + 180 ° - 360 °$

解题步骤 16.4.2

得出的角 $270 °$ 是正角度，比 $360 °$ 小，且与 $360 + 90 + 180$ 共边。

$θ = 270 °$

解题步骤 16.5

求 $\sin (θ)$ 的周期。

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解题步骤 16.5.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 16.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 16.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 16.5.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 16.6

将 $360$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 16.6.1

将 $360$ 加到 $- 90$ 以求正角。

$- 90 + 360$

解题步骤 16.6.2

从 $360$ 中减去 $90$ 。

$270$

解题步骤 16.6.3

列出新角。

$θ = 270$

解题步骤 16.7

$\sin (θ)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$θ = 270 + 360 n, 270 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 17

列出所有解。

$θ = 231.05755873 + 360 n, 308.94244126 + 360 n, 270 + 360 n, 270 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 18

将 $270 + 360 n$ 和 $270 + 360 n$ 合并为 $270 + 360 n$ 。

$θ = 231.05755873 + 360 n, 308.94244126 + 360 n, 270 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

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