三角学示例

$3 \sin^{2} (θ) - 4 = - 4 \sin (θ)$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $4 \sin (θ)$ 。

$3 \sin^{2} (θ) - 4 + 4 \sin (θ) = 0$

解题步骤 2

分组因式分解。

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解题步骤 2.1

重新排序项。

$3 \sin^{2} (θ) + 4 \sin (θ) - 4 = 0$

解题步骤 2.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ 并且它们的和为 $b = 4$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $4 \sin (θ)$ 中分解出因数 $4$ 。

$3 \sin^{2} (θ) + 4 \sin (θ) - 4 = 0$

解题步骤 2.2.2

把 $4$ 重写为 $- 2$ 加 $6$

$3 \sin^{2} (θ) + (- 2 + 6) \sin (θ) - 4 = 0$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$3 \sin^{2} (θ) - 2 \sin (θ) + 6 \sin (θ) - 4 = 0$

解题步骤 2.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$3 \sin^{2} (θ) - 2 \sin (θ) + 6 \sin (θ) - 4 = 0$

解题步骤 2.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\sin (θ) (3 \sin (θ) - 2) + 2 (3 \sin (θ) - 2) = 0$

解题步骤 2.4

通过因式分解出最大公因数 $3 \sin (θ) - 2$ 来因式分解多项式。

$(3 \sin (θ) - 2) (\sin (θ) + 2) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 \sin (θ) - 2 = 0$

$\sin (θ) + 2 = 0$

解题步骤 4

将 $3 \sin (θ) - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 4.1

将 $3 \sin (θ) - 2$ 设为等于 $0$ 。

$3 \sin (θ) - 2 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $θ$ 的 $3 \sin (θ) - 2 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$3 \sin (θ) = 2$

解题步骤 4.2.2

将 $3 \sin (θ) = 2$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $3 \sin (θ) = 2$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{2}{3}$

解题步骤 4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{2}{3}$

解题步骤 4.2.2.2.1.2

用 $\sin (θ)$ 除以 $1$ 。

$\sin (θ) = \frac{2}{3}$

解题步骤 4.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $θ$ 。

$θ = \arcsin (\frac{2}{3})$

解题步骤 4.2.4

化简右边。

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解题步骤 4.2.4.1

计算 $\arcsin (\frac{2}{3})$ 。

$θ = 41.81031489$

解题步骤 4.2.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$θ = 180 - 41.81031489$

解题步骤 4.2.6

从 $180$ 中减去 $41.81031489$ 。

$θ = 138.1896851$

解题步骤 4.2.7

求 $\sin (θ)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 4.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 4.2.7.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 4.2.8

$\sin (θ)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$θ = 41.81031489 + 360 n, 138.1896851 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $\sin (θ) + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\sin (θ) + 2$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (θ) + 2 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $θ$ 的 $\sin (θ) + 2 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$\sin (θ) = - 2$

解题步骤 5.2.2

正弦函数的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $- 2$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 6

最终解为使 $(3 \sin (θ) - 2) (\sin (θ) + 2) = 0$ 成立的所有值。

$θ = 41.81031489 + 360 n, 138.1896851 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

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