三角学示例

\cos^{2} (x) + \sin (x) = 1

$\cos^{2} (x) + \sin (x) = 1$

解题步骤 1

从等式两边同时减去

1

$1$ 。

\cos^{2} (x) + \sin (x) - 1 = 0

$\cos^{2} (x) + \sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 2

化简

\cos^{2} (x) + \sin (x) - 1

$\cos^{2} (x) + \sin (x) - 1$ 。

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解题步骤 2.1

移动

- 1

$- 1$ 。

\cos^{2} (x) - 1 + \sin (x) = 0

$\cos^{2} (x) - 1 + \sin (x) = 0$

解题步骤 2.2

将

\cos^{2} (x)

$\cos^{2} (x)$ 和

- 1

$- 1$ 重新排序。

- 1 + \cos^{2} (x) + \sin (x) = 0

$- 1 + \cos^{2} (x) + \sin (x) = 0$

解题步骤 2.3

将

- 1

$- 1$ 重写为

- 1 (1)

$- 1 (1)$ 。

- 1 (1) + \cos^{2} (x) + \sin (x) = 0

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) + \sin (x) = 0$

解题步骤 2.4

从

\cos^{2} (x)

$\cos^{2} (x)$ 中分解出因数

- 1

$- 1$ 。

- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) + \sin (x) = 0

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) + \sin (x) = 0$

解题步骤 2.5

从

- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ 中分解出因数

- 1

$- 1$ 。

- 1 (1 - \cos^{2} (x)) + \sin (x) = 0

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) + \sin (x) = 0$

解题步骤 2.6

将

- 1 (1 - \cos^{2} (x))

$- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ 重写为

- (1 - \cos^{2} (x))

$- (1 - \cos^{2} (x))$ 。

- (1 - \cos^{2} (x)) + \sin (x) = 0

$- (1 - \cos^{2} (x)) + \sin (x) = 0$

解题步骤 2.7

使用勾股恒等式。

- \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0

$- \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

- \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0

$- \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

解题步骤 3

求解

x

$x$ 。

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解题步骤 3.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.1.1

使

u = \sin (x)

$u = \sin (x)$ 。用

u

$u$ 代入替换所有出现的

\sin (x)

$\sin (x)$ 。

- u^{2} + u = 0

$- u^{2} + u = 0$

解题步骤 3.1.2

从

- u^{2} + u

$- u^{2} + u$ 中分解出因数

u

$u$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

从

- u^{2}

$- u^{2}$ 中分解出因数

u

$u$ 。

u (- u) + u = 0

$u (- u) + u = 0$

解题步骤 3.1.2.2

对

u

$u$ 进行

1

$1$ 次方运算。

u (- u) + u = 0

$u (- u) + u = 0$

解题步骤 3.1.2.3

从

u^{1}

$u^{1}$ 中分解出因数

u

$u$ 。

u (- u) + u \cdot 1 = 0

$u (- u) + u \cdot 1 = 0$

解题步骤 3.1.2.4

从

u (- u) + u \cdot 1

$u (- u) + u \cdot 1$ 中分解出因数

u

$u$ 。

u (- u + 1) = 0

$u (- u + 1) = 0$

u (- u + 1) = 0

$u (- u + 1) = 0$

解题步骤 3.1.3

使用

\sin (x)

$\sin (x)$ 替换所有出现的

u

$u$ 。

\sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0

$\sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0$

\sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0

$\sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0$

解题步骤 3.2

如果等式左侧的任一因数等于

0

$0$ ，则整个表达式将等于

0

$0$ 。

\sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

- \sin (x) + 1 = 0

$- \sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 3.3

将

\sin (x)

$\sin (x)$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 3.3.1

将

\sin (x)

$\sin (x)$ 设为等于

0

$0$ 。

\sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

解题步骤 3.3.2

求解

x

$x$ 的

\sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的

x

$x$ 。

x = \arcsin (0)

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 3.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

\arcsin (0)

$\arcsin (0)$ 的准确值为

0

$0$ 。

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

解题步骤 3.3.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从

π

$π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

x = π - 0

$x = π - 0$

解题步骤 3.3.2.4

从

π

$π$ 中减去

0

$0$ 。

x = π

$x = π$

解题步骤 3.3.2.5

求

\sin (x)

$\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.3.2.5.1

函数的周期可利用

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.3.2.5.2

使用周期公式中的

1

$1$ 替换

b

$b$ 。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.3.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

1

$1$ 之间的距离为

1

$1$ 。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.3.2.5.4

用

2 π

$2 π$ 除以

1

$1$ 。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

解题步骤 3.3.2.6

\sin (x)

$\sin (x)$ 函数的周期为

2 π

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

2 π

$2 π$ 弧度将重复出现。

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 3.4

将

- \sin (x) + 1

$- \sin (x) + 1$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将

- \sin (x) + 1

$- \sin (x) + 1$ 设为等于

0

$0$ 。

- \sin (x) + 1 = 0

$- \sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 3.4.2

求解

x

$x$ 的

- \sin (x) + 1 = 0

$- \sin (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

从等式两边同时减去

1

$1$ 。

- \sin (x) = - 1

$- \sin (x) = - 1$

解题步骤 3.4.2.2

将

- \sin (x) = - 1

$- \sin (x) = - 1$ 中的每一项除以

- 1

$- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.2.1

将

- \sin (x) = - 1

$- \sin (x) = - 1$ 中的每一项都除以

- 1

$- 1$ 。

\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2.2.2

用

\sin (x)

$\sin (x)$ 除以

1

$1$ 。

\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.2.3.1

用

- 1

$- 1$ 除以

- 1

$- 1$ 。

\sin (x) = 1

$\sin (x) = 1$

\sin (x) = 1

$\sin (x) = 1$

\sin (x) = 1

$\sin (x) = 1$

解题步骤 3.4.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的

x

$x$ 。

x = \arcsin (1)

$x = \arcsin (1)$

解题步骤 3.4.2.4

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.4.1

\arcsin (1)

$\arcsin (1)$ 的准确值为

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ 。

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 3.4.2.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从

π

$π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

x = π - \frac{π}{2}

$x = π - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.4.2.6

化简

π - \frac{π}{2}

$π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 3.4.2.6.1

要将

π

$π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ 。

x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.4.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 3.4.2.6.2.1

组合

π

$π$ 和

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ 。

x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.4.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 3.4.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 3.4.2.6.3.1

将

2

$2$ 移到

π

$π$ 的左侧。

x = \frac{2 \cdot π - π}{2}

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

解题步骤 3.4.2.6.3.2

从

2 π

$2 π$ 中减去

π

$π$ 。

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 3.4.2.7

求

\sin (x)

$\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.4.2.7.1

函数的周期可利用

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.4.2.7.2

使用周期公式中的

1

$1$ 替换

b

$b$ 。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.4.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

1

$1$ 之间的距离为

1

$1$ 。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.4.2.7.4

用

2 π

$2 π$ 除以

1

$1$ 。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

解题步骤 3.4.2.8

\sin (x)

$\sin (x)$ 函数的周期为

2 π

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

2 π

$2 π$ 弧度将重复出现。

x = \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 3.5

最终解为使

\sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0

$\sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0$ 成立的所有值。

x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 4

将

2 π n

$2 π n$ 和

π + 2 π n

$π + 2 π n$ 合并为

π n

$π n$ 。

x = π n, \frac{π}{2} + 2 π n

$x = π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

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