三角学示例

\csc^{2} (x) + \csc (x) = 2

$\csc^{2} (x) + \csc (x) = 2$

解题步骤 1

从等式两边同时减去

2

$2$ 。

\csc^{2} (x) + \csc (x) - 2 = 0

$\csc^{2} (x) + \csc (x) - 2 = 0$

解题步骤 2

使用 AC 法来对

\csc^{2} (x) + \csc (x) - 2

$\csc^{2} (x) + \csc (x) - 2$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

思考一下

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为

c

$c$ ，且和为

b

$b$ 。在本例中，其积即为

- 2

$- 2$ ，和为

1

$1$ 。

- 1, 2

$- 1, 2$

解题步骤 2.2

使用这些整数书写分数形式。

(\csc (x) - 1) (\csc (x) + 2) = 0

$(\csc (x) - 1) (\csc (x) + 2) = 0$

(\csc (x) - 1) (\csc (x) + 2) = 0

$(\csc (x) - 1) (\csc (x) + 2) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于

0

$0$ ，则整个表达式将等于

0

$0$ 。

\csc (x) - 1 = 0

$\csc (x) - 1 = 0$

\csc (x) + 2 = 0

$\csc (x) + 2 = 0$

解题步骤 4

将

\csc (x) - 1

$\csc (x) - 1$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将

\csc (x) - 1

$\csc (x) - 1$ 设为等于

0

$0$ 。

\csc (x) - 1 = 0

$\csc (x) - 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解

x

$x$ 的

\csc (x) - 1 = 0

$\csc (x) - 1 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上

1

$1$ 。

\csc (x) = 1

$\csc (x) = 1$

解题步骤 4.2.2

取等式两边的反余割以从余割中提出

x

$x$ 。

x = arccsc (1)

$x = arccsc (1)$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1

arccsc (1)

$arccsc (1)$ 的准确值为

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ 。

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.4

余割函数在第一和第二象限为正值。要求第二个解，应从

π

$π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

x = π - \frac{π}{2}

$x = π - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.5

化简

π - \frac{π}{2}

$π - \frac{π}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.5.1

要将

π

$π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ 。

x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.5.2

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.5.2.1

组合

π

$π$ 和

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ 。

x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.5.2.2

在公分母上合并分子。

x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 4.2.5.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.5.3.1

将

2

$2$ 移到

π

$π$ 的左侧。

x = \frac{2 \cdot π - π}{2}

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

解题步骤 4.2.5.3.2

从

2 π

$2 π$ 中减去

π

$π$ 。

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.6

求

\csc (x)

$\csc (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.6.1

函数的周期可利用

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.6.2

使用周期公式中的

1

$1$ 替换

b

$b$ 。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

1

$1$ 之间的距离为

1

$1$ 。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.6.4

用

2 π

$2 π$ 除以

1

$1$ 。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

解题步骤 4.2.7

\csc (x)

$\csc (x)$ 函数的周期为

2 π

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

2 π

$2 π$ 弧度将重复出现。

x = \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 5

将

\csc (x) + 2

$\csc (x) + 2$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将

\csc (x) + 2

$\csc (x) + 2$ 设为等于

0

$0$ 。

\csc (x) + 2 = 0

$\csc (x) + 2 = 0$

解题步骤 5.2

求解

x

$x$ 的

\csc (x) + 2 = 0

$\csc (x) + 2 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去

2

$2$ 。

\csc (x) = - 2

$\csc (x) = - 2$

解题步骤 5.2.2

取等式两边的反余割以从余割中提出

x

$x$ 。

x = arccsc (- 2)

$x = arccsc (- 2)$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1

arccsc (- 2)

$arccsc (- 2)$ 的准确值为

- \frac{π}{6}

$- \frac{π}{6}$ 。

x = - \frac{π}{6}

$x = - \frac{π}{6}$

x = - \frac{π}{6}

$x = - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.2.4

余割函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从

2 π

$2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和

π

$π$ 相加以求第三象限中的解。

x = 2 π + \frac{π}{6} + π

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

解题步骤 5.2.5

化简表达式以求第二个解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.5.1

从

2 π + \frac{π}{6} + π

$2 π + \frac{π}{6} + π$ 中减去

2 π

$2 π$ 。

x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

解题步骤 5.2.5.2

得出的角

\frac{7 π}{6}

$\frac{7 π}{6}$ 是正角度，比

2 π

$2 π$ 小，且与

2 π + \frac{π}{6} + π

$2 π + \frac{π}{6} + π$ 共边。

x = \frac{7 π}{6}

$x = \frac{7 π}{6}$

x = \frac{7 π}{6}

$x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 5.2.6

求

\csc (x)

$\csc (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.6.1

函数的周期可利用

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.6.2

使用周期公式中的

1

$1$ 替换

b

$b$ 。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

1

$1$ 之间的距离为

1

$1$ 。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.6.4

用

2 π

$2 π$ 除以

1

$1$ 。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

解题步骤 5.2.7

将

2 π

$2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.7.1

将

2 π

$2 π$ 加到

- \frac{π}{6}

$- \frac{π}{6}$ 以求正角。

- \frac{π}{6} + 2 π

$- \frac{π}{6} + 2 π$

解题步骤 5.2.7.2

要将

2 π

$2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ 。

2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.2.7.3

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.7.3.1

组合

2 π

$2 π$ 和

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ 。

\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.2.7.3.2

在公分母上合并分子。

\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 5.2.7.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.7.4.1

将

6

$6$ 乘以

2

$2$ 。

\frac{12 π - π}{6}

$\frac{12 π - π}{6}$

解题步骤 5.2.7.4.2

从

12 π

$12 π$ 中减去

π

$π$ 。

\frac{11 π}{6}

$\frac{11 π}{6}$

\frac{11 π}{6}

$\frac{11 π}{6}$

解题步骤 5.2.7.5

列出新角。

x = \frac{11 π}{6}

$x = \frac{11 π}{6}$

x = \frac{11 π}{6}

$x = \frac{11 π}{6}$

解题步骤 5.2.8

\csc (x)

$\csc (x)$ 函数的周期为

2 π

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

2 π

$2 π$ 弧度将重复出现。

x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 6

最终解为使

(\csc (x) - 1) (\csc (x) + 2) = 0

$(\csc (x) - 1) (\csc (x) + 2) = 0$ 成立的所有值。

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 7

合并答案。

x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ ，对于任意整数

n

$n$

三角学 示例

三角学示例