三角学示例

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ , $\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{5}$

解题步骤 1

要求 $\tan (θ)$ 的值，请使用 $\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ 并代入已知值。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$

解题步骤 2

化简结果。

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解题步骤 2.1

将分子乘以分母的倒数。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{5}}$

解题步骤 2.2

约去 $\sqrt{5}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

从 $2 \sqrt{5}$ 中分解出因数 $\sqrt{5}$ 。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\sqrt{5} \cdot 2}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{5}}$

解题步骤 2.2.2

约去公因数。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\sqrt{5} \cdot 2}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{5}}$

解题步骤 2.2.3

重写表达式。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2}{5} \cdot 5$

解题步骤 2.3

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

约去公因数。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2}{5} \cdot 5$

解题步骤 2.3.2

重写表达式。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = 2$

解题步骤 3

要求 $\cot (θ)$ 的值，请使用 $\frac{1}{\tan (θ)}$ 并代入已知值。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{1}{2}$

解题步骤 4

要求 $\sec (θ)$ 的值，请使用 $\frac{1}{\cos (θ)}$ 并代入已知值。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$

解题步骤 5

化简结果。

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解题步骤 5.1

将分子乘以分母的倒数。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = 1 (\frac{5}{\sqrt{5}})$

解题步骤 5.2

将 $\frac{5}{\sqrt{5}}$ 乘以 $1$ 。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5}{\sqrt{5}}$

解题步骤 5.3

将 $\frac{5}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 5.4

合并和化简分母。

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解题步骤 5.4.1

将 $\frac{5}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 5.4.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 5.4.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 5.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 5.4.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 5.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.6.4.1

约去公因数。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.4.6.4.2

重写表达式。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 5.4.6.5

计算指数。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 5.5

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.1

约去公因数。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 5.5.2

用 $\sqrt{5}$ 除以 $1$ 。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \sqrt{5}$

解题步骤 6

要求 $\csc (θ)$ 的值，请使用 $\frac{1}{\sin (θ)}$ 并代入已知值。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{1}{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}$

解题步骤 7

化简结果。

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解题步骤 7.1

将分子乘以分母的倒数。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = 1 (\frac{5}{2 \sqrt{5}})$

解题步骤 7.2

将 $\frac{5}{2 \sqrt{5}}$ 乘以 $1$ 。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5}{2 \sqrt{5}}$

解题步骤 7.3

将 $\frac{5}{2 \sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5}{2 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 7.4

合并和化简分母。

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解题步骤 7.4.1

将 $\frac{5}{2 \sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 7.4.2

移动 $\sqrt{5}$ 。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

解题步骤 7.4.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

解题步骤 7.4.4

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

解题步骤 7.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 7.4.7

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 7.4.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.4.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.4.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.4.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.7.4.1

约去公因数。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.4.7.4.2

重写表达式。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 7.4.7.5

计算指数。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 7.5

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.1

约去公因数。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 7.5.2

重写表达式。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

解题步骤 8

求得的三角函数如下：

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\tan (θ) = 2$

$\cot (θ) = \frac{1}{2}$

$\sec (θ) = \sqrt{5}$

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{5}}{2}$

三角学 示例

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