三角学示例

8 sin (x) tan (x) - 7 tan (x) = 0

$8 \sin (x) \tan (x) - 7 \tan (x) = 0$

解题步骤 1

化简等式左边。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

将

tan (x)

$\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

8 sin (x) (\frac{sin (x)}{cos (x)}) - 7 tan (x) = 0

$8 \sin (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 7 \tan (x) = 0$

解题步骤 1.1.2

乘以

8 sin (x) \frac{sin (x)}{cos (x)}

$8 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

组合

\frac{sin (x)}{cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 和

8

$8$ 。

\frac{sin (x) \cdot 8}{cos (x)} \cdot sin (x) - 7 tan (x) = 0

$\frac{\sin (x) \cdot 8}{\cos (x)} \cdot \sin (x) - 7 \tan (x) = 0$

解题步骤 1.1.2.2

组合

\frac{sin (x) \cdot 8}{cos (x)}

$\frac{\sin (x) \cdot 8}{\cos (x)}$ 和

sin (x)

$\sin (x)$ 。

\frac{sin (x) \cdot (8 sin (x))}{cos (x)} - 7 tan (x) = 0

$\frac{\sin (x) \cdot (8 \sin (x))}{\cos (x)} - 7 \tan (x) = 0$

解题步骤 1.1.2.3

对

sin (x)

$\sin (x)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\frac{8 (sin (x) sin (x))}{cos (x)} - 7 tan (x) = 0

$\frac{8 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - 7 \tan (x) = 0$

解题步骤 1.1.2.4

对

sin (x)

$\sin (x)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\frac{8 (sin (x) sin (x))}{cos (x)} - 7 tan (x) = 0

$\frac{8 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - 7 \tan (x) = 0$

解题步骤 1.1.2.5

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

\frac{8 {sin (x)}^{1 + 1}}{cos (x)} - 7 tan (x) = 0

$\frac{8 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} - 7 \tan (x) = 0$

解题步骤 1.1.2.6

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

\frac{8 {sin}^{2} (x)}{cos (x)} - 7 tan (x) = 0

$\frac{8 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - 7 \tan (x) = 0$

\frac{8 {sin}^{2} (x)}{cos (x)} - 7 tan (x) = 0

$\frac{8 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - 7 \tan (x) = 0$

解题步骤 1.1.3

将

tan (x)

$\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

\frac{8 {sin}^{2} (x)}{cos (x)} - 7 \frac{sin (x)}{cos (x)} = 0

$\frac{8 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - 7 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 1.1.4

组合

- 7

$- 7$ 和

\frac{sin (x)}{cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

\frac{8 {sin}^{2} (x)}{cos (x)} + \frac{- 7 sin (x)}{cos (x)} = 0

$\frac{8 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{- 7 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 1.1.5

将负号移到分数的前面。

\frac{8 {sin}^{2} (x)}{cos (x)} - \frac{7 sin (x)}{cos (x)} = 0

$\frac{8 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{7 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

\frac{8 {sin}^{2} (x)}{cos (x)} - \frac{7 sin (x)}{cos (x)} = 0

$\frac{8 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{7 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1

从

{sin}^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$ 中分解出因数

sin (x)

$\sin (x)$ 。

\frac{8 (sin (x) sin (x))}{cos (x)} - \frac{7 sin (x)}{cos (x)} = 0

$\frac{8 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - \frac{7 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 1.2.2

分离分数。

\frac{8 (sin (x))}{1} \cdot \frac{sin (x)}{cos (x)} - \frac{7 sin (x)}{cos (x)} = 0

$\frac{8 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{7 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 1.2.3

将

\frac{sin (x)}{cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成

tan (x)

$\tan (x)$ 。

\frac{8 (sin (x))}{1} \cdot tan (x) - \frac{7 sin (x)}{cos (x)} = 0

$\frac{8 (\sin (x))}{1} \cdot \tan (x) - \frac{7 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 1.2.4

用

8 (sin (x))

$8 (\sin (x))$ 除以

1

$1$ 。

8 (sin (x)) tan (x) - \frac{7 sin (x)}{cos (x)} = 0

$8 (\sin (x)) \tan (x) - \frac{7 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 1.2.5

分离分数。

8 sin (x) tan (x) - (\frac{7}{1} \cdot \frac{sin (x)}{cos (x)}) = 0

$8 \sin (x) \tan (x) - (\frac{7}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = 0$

解题步骤 1.2.6

将

\frac{sin (x)}{cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成

tan (x)

$\tan (x)$ 。

8 sin (x) tan (x) - (\frac{7}{1} \cdot tan (x)) = 0

$8 \sin (x) \tan (x) - (\frac{7}{1} \cdot \tan (x)) = 0$

解题步骤 1.2.7

用

7

$7$ 除以

1

$1$ 。

8 sin (x) tan (x) - (7 tan (x)) = 0

$8 \sin (x) \tan (x) - (7 \tan (x)) = 0$

解题步骤 1.2.8

将

7

$7$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

8 sin (x) tan (x) - 7 tan (x) = 0

$8 \sin (x) \tan (x) - 7 \tan (x) = 0$

8 sin (x) tan (x) - 7 tan (x) = 0

$8 \sin (x) \tan (x) - 7 \tan (x) = 0$

8 sin (x) tan (x) - 7 tan (x) = 0

$8 \sin (x) \tan (x) - 7 \tan (x) = 0$

解题步骤 2

从

8 sin (x) tan (x) - 7 tan (x)

$8 \sin (x) \tan (x) - 7 \tan (x)$ 中分解出因数

tan (x)

$\tan (x)$ 。

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解题步骤 2.1

从

8 sin (x) tan (x)

$8 \sin (x) \tan (x)$ 中分解出因数

tan (x)

$\tan (x)$ 。

tan (x) (8 sin (x)) - 7 tan (x) = 0

$\tan (x) (8 \sin (x)) - 7 \tan (x) = 0$

解题步骤 2.2

从

- 7 tan (x)

$- 7 \tan (x)$ 中分解出因数

tan (x)

$\tan (x)$ 。

tan (x) (8 sin (x)) + tan (x) \cdot - 7 = 0

$\tan (x) (8 \sin (x)) + \tan (x) \cdot - 7 = 0$

解题步骤 2.3

从

tan (x) (8 sin (x)) + tan (x) \cdot - 7

$\tan (x) (8 \sin (x)) + \tan (x) \cdot - 7$ 中分解出因数

$\tan (x)$ 。

$\tan (x) (8 \sin (x) - 7) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$\tan (x) = 0$

$8 \sin (x) - 7 = 0$

解题步骤 4

将

$\tan (x)$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 4.1

将

$\tan (x)$ 设为等于

$0$ 。

$\tan (x) = 0$

解题步骤 4.2

求解

$x$ 的

$\tan (x) = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的

$x$ 。

$x = \arctan (0)$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

$\arctan (0)$ 的准确值为

$0$ 。

$x = 0$

解题步骤 4.2.3

正切函数在第一和第三象限为正值。若要求第二个解，应从

$180$ 中减去参考角以求得第四象限中的解。

$x = 180 + 0$

解题步骤 4.2.4

将

$180$ 和

$0$ 相加。

$x = 180$

解题步骤 4.2.5

求

$\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.5.1

函数的周期可利用

$\frac{180}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{180}{| b |}$

解题步骤 4.2.5.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{180}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{180}{1}$

解题步骤 4.2.5.4

用

$180$ 除以

$1$ 。

$180$

解题步骤 4.2.6

$\tan (x)$ 函数的周期为

$180$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$180$ 度数重复出现。

$x = 180 n, 180 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

$x = 180 n, 180 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

$x = 180 n, 180 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 5

将

$8 \sin (x) - 7$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 5.1

将

$8 \sin (x) - 7$ 设为等于

$0$ 。

$8 \sin (x) - 7 = 0$

解题步骤 5.2

求解

$x$ 的

$8 \sin (x) - 7 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上

$7$ 。

$8 \sin (x) = 7$

解题步骤 5.2.2

将

$8 \sin (x) = 7$ 中的每一项除以

$8$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将

$8 \sin (x) = 7$ 中的每一项都除以

$8$ 。

$\frac{8 \sin (x)}{8} = \frac{7}{8}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去

$8$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 \sin (x)}{8} = \frac{7}{8}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用

$\sin (x)$ 除以

$1$ 。

$\sin (x) = \frac{7}{8}$

解题步骤 5.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的

$x$ 。

$x = \arcsin (\frac{7}{8})$

解题步骤 5.2.4

化简右边。

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解题步骤 5.2.4.1

计算

$\arcsin (\frac{7}{8})$ 。

$x = 61.04497562$

解题步骤 5.2.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从

$180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = 180 - 61.04497562$

解题步骤 5.2.6

从

$180$ 中减去

$61.04497562$ 。

$x = 118.95502437$

解题步骤 5.2.7

求

$\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.7.1

函数的周期可利用

$\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 5.2.7.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 5.2.7.4

用

$360$ 除以

$1$ 。

$360$

解题步骤 5.2.8

$\sin (x)$ 函数的周期为

$360$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$360$ 度数重复出现。

$x = 61.04497562 + 360 n, 118.95502437 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

$x = 61.04497562 + 360 n, 118.95502437 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

$x = 61.04497562 + 360 n, 118.95502437 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 6

最终解为使

$\tan (x) (8 \sin (x) - 7) = 0$ 成立的所有值。

$x = 180 n, 180 + 180 n, 61.04497562 + 360 n, 118.95502437 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 7

将

$180 n$ 和

$180 + 180 n$ 合并为

$180 n$ 。

$x = 180 n, 61.04497562 + 360 n, 118.95502437 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

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