三角学示例

9 tan (x) sin (x) = 10 sin (x)

$9 \tan (x) \sin (x) = 10 \sin (x)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去

$10 \sin (x)$ 。

$9 \tan (x) \sin (x) - 10 \sin (x) = 0$

解题步骤 2

化简等式左边。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将

$\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$9 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cdot \sin (x) - 10 \sin (x) = 0$

解题步骤 2.1.2

组合

$9$ 和

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{9 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x) - 10 \sin (x) = 0$

解题步骤 2.1.3

乘以

$\frac{9 \sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

组合

$\frac{9 \sin (x)}{\cos (x)}$ 和

$\sin (x)$ 。

$\frac{9 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} - 10 \sin (x) = 0$

解题步骤 2.1.3.2

对

$\sin (x)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{9 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - 10 \sin (x) = 0$

解题步骤 2.1.3.3

对

$\sin (x)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{9 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - 10 \sin (x) = 0$

解题步骤 2.1.3.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{9 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} - 10 \sin (x) = 0$

解题步骤 2.1.3.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\frac{9 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - 10 \sin (x) = 0$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

从

$\sin^{2} (x)$ 中分解出因数

$\sin (x)$ 。

$\frac{9 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - 10 \sin (x) = 0$

解题步骤 2.2.2

分离分数。

$\frac{9 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 10 \sin (x) = 0$

解题步骤 2.2.3

将

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成

$\tan (x)$ 。

$\frac{9 (\sin (x))}{1} \cdot \tan (x) - 10 \sin (x) = 0$

解题步骤 2.2.4

用

$9 (\sin (x))$ 除以

$1$ 。

$9 \sin (x) \tan (x) - 10 \sin (x) = 0$

解题步骤 3

从

$9 \sin (x) \tan (x) - 10 \sin (x)$ 中分解出因数

$\sin (x)$ 。

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解题步骤 3.1

从

$9 \sin (x) \tan (x)$ 中分解出因数

$\sin (x)$ 。

$\sin (x) (9 \tan (x)) - 10 \sin (x) = 0$

解题步骤 3.2

从

$- 10 \sin (x)$ 中分解出因数

$\sin (x)$ 。

$\sin (x) (9 \tan (x)) + \sin (x) \cdot - 10 = 0$

解题步骤 3.3

从

$\sin (x) (9 \tan (x)) + \sin (x) \cdot - 10$ 中分解出因数

$\sin (x)$ 。

$\sin (x) (9 \tan (x) - 10) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$\sin (x) = 0$

$9 \tan (x) - 10 = 0$

解题步骤 5

将

$\sin (x)$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 5.1

将

$\sin (x)$ 设为等于

$0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 5.2

求解

$x$ 的

$\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的

$x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为

$0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从

$180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = 180 - 0$

解题步骤 5.2.4

从

$180$ 中减去

$0$ 。

$x = 180$

解题步骤 5.2.5

求

$\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.5.1

函数的周期可利用

$\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 5.2.5.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 5.2.5.4

用

$360$ 除以

$1$ 。

$360$

解题步骤 5.2.6

$\sin (x)$ 函数的周期为

$360$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$360$ 度数重复出现。

$x = 360 n, 180 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

$x = 360 n, 180 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

$x = 360 n, 180 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 6

将

$9 \tan (x) - 10$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 6.1

将

$9 \tan (x) - 10$ 设为等于

$0$ 。

$9 \tan (x) - 10 = 0$

解题步骤 6.2

求解

$x$ 的

$9 \tan (x) - 10 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上

$10$ 。

$9 \tan (x) = 10$

解题步骤 6.2.2

将

$9 \tan (x) = 10$ 中的每一项除以

$9$ 并化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将

$9 \tan (x) = 10$ 中的每一项都除以

$9$ 。

$\frac{9 \tan (x)}{9} = \frac{10}{9}$

解题步骤 6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.2.1

约去

$9$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 \tan (x)}{9} = \frac{10}{9}$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

用

$\tan (x)$ 除以

$1$ 。

$\tan (x) = \frac{10}{9}$

解题步骤 6.2.3

取方程两边的逆正切从而提取正切内的

$x$ 。

$x = \arctan (\frac{10}{9})$

解题步骤 6.2.4

化简右边。

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解题步骤 6.2.4.1

计算

$\arctan (\frac{10}{9})$ 。

$x = 48.0127875$

解题步骤 6.2.5

正切函数在第一和第三象限为正值。若要求第二个解，应从

$180$ 中减去参考角以求得第四象限中的解。

$x = 180 + 48.0127875$

解题步骤 6.2.6

将

$180$ 和

$48.0127875$ 相加。

$x = 228.0127875$

解题步骤 6.2.7

求

$\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.7.1

函数的周期可利用

$\frac{180}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{180}{| b |}$

解题步骤 6.2.7.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{180}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{180}{1}$

解题步骤 6.2.7.4

用

$180$ 除以

$1$ 。

$180$

解题步骤 6.2.8

$\tan (x)$ 函数的周期为

$180$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$180$ 度数重复出现。

$x = 48.0127875 + 180 n, 228.0127875 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

$x = 48.0127875 + 180 n, 228.0127875 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

$x = 48.0127875 + 180 n, 228.0127875 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 7

最终解为使

$\sin (x) (9 \tan (x) - 10) = 0$ 成立的所有值。

$x = 360 n, 180 + 360 n, 48.0127875 + 180 n, 228.0127875 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 8

合并答案。

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解题步骤 8.1

将

$360 n$ 和

$180 + 360 n$ 合并为

$180 n$ 。

$x = 180 n, 48.0127875 + 180 n, 228.0127875 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 8.2

将

$48.0127875 + 180 n$ 和

$228.0127875 + 180 n$ 合并为

$48.0127875 + 180 n$ 。

$x = 180 n, 48.0127875 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

$x = 180 n, 48.0127875 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

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