三角学示例

$1 + \frac{\tan (θ)}{\cot (θ)} = \sec^{2} (θ)$

解题步骤 1

从左边开始。

$1 + \frac{\tan (θ)}{\cot (θ)}$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

将 $\cot (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$1 + \frac{\tan (θ)}{\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}$

解题步骤 2.2

将 $\tan (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$1 + \frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}$

解题步骤 2.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ 。

$1 + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

解题步骤 2.4

将 $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ 乘以 $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ 。

$1 + \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

解题步骤 2.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.1

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

解题步骤 2.5.2

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

解题步骤 2.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 + \frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ) \cos (θ)}$

解题步骤 2.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

解题步骤 2.6

化简分母。

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解题步骤 2.6.1

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}$

解题步骤 2.6.2

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}$

解题步骤 2.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{{\cos (θ)}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.6.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

解题步骤 3

将勾股恒等式反过来使用。

$1 + \frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$1 + \frac{1^{2} - {\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \cos (θ)$ 。

$1 + \frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

解题步骤 4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{{\cos (θ)}^{2} + (1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

解题步骤 4.4

化简分子。

$\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$

解题步骤 5

将 $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ 重写为 $\sec^{2} (θ)$ 。

$\sec^{2} (θ)$

解题步骤 6

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$1 + \frac{\tan (θ)}{\cot (θ)} = \sec^{2} (θ)$ 是一个恒等式

三角学 示例

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