三角学示例

{cos}^{2} (x) = \frac{3}{4}

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

解题步骤 1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

解题步骤 2

化简

\pm \sqrt{\frac{3}{4}}

$\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ 。

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解题步骤 2.1

将

\sqrt{\frac{3}{4}}

$\sqrt{\frac{3}{4}}$ 重写为

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ 。

cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 2.2

化简分母。

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解题步骤 2.2.1

将

4

$4$ 重写为

2^{2}

$2^{2}$ 。

cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.1

首先，利用

\pm

$\pm$ 的正值求第一个解。

cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.2

下一步，使用

\pm

$\pm$ 的负值来求第二个解。

cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4

建立每一个解以求解

x

$x$ 。

cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5

在

cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中求解

x

$x$ 。

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解题步骤 5.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的

x

$x$ 。

x = arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})

$\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为

\frac{π}{6}

$\frac{π}{6}$ 。

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

解题步骤 5.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从

2 π

$2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

x = 2 π - \frac{π}{6}

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.4

化简

2 π - \frac{π}{6}

$2 π - \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 5.4.1

要将

2 π

$2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ 。

x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.4.2

合并分数。

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解题步骤 5.4.2.1

组合

2 π

$2 π$ 和

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ 。

x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.4.2.2

在公分母上合并分子。

x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 5.4.3

化简分子。

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解题步骤 5.4.3.1

将

6

$6$ 乘以

2

$2$ 。

x = \frac{12 π - π}{6}

$x = \frac{12 π - π}{6}$

解题步骤 5.4.3.2

从

12 π

$12 π$ 中减去

π

$π$ 。

x = \frac{11 π}{6}

$x = \frac{11 π}{6}$

x = \frac{11 π}{6}

$x = \frac{11 π}{6}$

x = \frac{11 π}{6}

$x = \frac{11 π}{6}$

解题步骤 5.5

求

cos (x)

$\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.5.1

函数的周期可利用

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.5.2

使用周期公式中的

1

$1$ 替换

b

$b$ 。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

1

$1$ 之间的距离为

1

$1$ 。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.5.4

用

2 π

$2 π$ 除以

1

$1$ 。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

解题步骤 5.6

cos (x)

$\cos (x)$ 函数的周期为

2 π

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

2 π

$2 π$ 弧度将重复出现。

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 6

在

cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中求解

x

$x$ 。

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解题步骤 6.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的

x

$x$ 。

x = arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 6.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1

arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})

$\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为

\frac{5 π}{6}

$\frac{5 π}{6}$ 。

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 6.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从

2 π

$2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

x = 2 π - \frac{5 π}{6}

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 6.4

化简

2 π - \frac{5 π}{6}

$2 π - \frac{5 π}{6}$ 。

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解题步骤 6.4.1

要将

2 π

$2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ 。

x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 6.4.2

合并分数。

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解题步骤 6.4.2.1

组合

2 π

$2 π$ 和

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ 。

x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 6.4.2.2

在公分母上合并分子。

x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

解题步骤 6.4.3

化简分子。

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解题步骤 6.4.3.1

将

6

$6$ 乘以

2

$2$ 。

x = \frac{12 π - 5 π}{6}

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

解题步骤 6.4.3.2

从

12 π

$12 π$ 中减去

5 π

$5 π$ 。

x = \frac{7 π}{6}

$x = \frac{7 π}{6}$

x = \frac{7 π}{6}

$x = \frac{7 π}{6}$

x = \frac{7 π}{6}

$x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 6.5

求

cos (x)

$\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.5.1

函数的周期可利用

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.5.2

使用周期公式中的

1

$1$ 替换

b

$b$ 。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

1

$1$ 之间的距离为

1

$1$ 。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.5.4

用

2 π

$2 π$ 除以

1

$1$ 。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

解题步骤 6.6

cos (x)

$\cos (x)$ 函数的周期为

2 π

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

2 π

$2 π$ 弧度将重复出现。

x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 7

列出所有解。

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 8

合并解集。

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解题步骤 8.1

将

\frac{π}{6} + 2 π n

$\frac{π}{6} + 2 π n$ 和

\frac{7 π}{6} + 2 π n

$\frac{7 π}{6} + 2 π n$ 合并为

\frac{π}{6} + π n

$\frac{π}{6} + π n$ 。

x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 8.2

将

\frac{11 π}{6} + 2 π n

$\frac{11 π}{6} + 2 π n$ 和

\frac{5 π}{6} + 2 π n

$\frac{5 π}{6} + 2 π n$ 合并为

\frac{5 π}{6} + π n

$\frac{5 π}{6} + π n$ 。

x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ ，对于任意整数

n

$n$

三角学 示例

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