三角学示例

sin (2 θ) + cos (θ) = 0

$\sin (2 θ) + \cos (θ) = 0$

解题步骤 1

使用正弦倍角公式。

2 sin (θ) cos (θ) + cos (θ) = 0

$2 \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) = 0$

解题步骤 2

从

2 sin (θ) cos (θ) + cos (θ)

$2 \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ)$ 中分解出因数

cos (θ)

$\cos (θ)$ 。

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解题步骤 2.1

从

2 sin (θ) cos (θ)

$2 \sin (θ) \cos (θ)$ 中分解出因数

cos (θ)

$\cos (θ)$ 。

cos (θ) (2 sin (θ)) + cos (θ) = 0

$\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) = 0$

解题步骤 2.2

对

cos (θ)

$\cos (θ)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

cos (θ) (2 sin (θ)) + cos (θ) = 0

$\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) = 0$

解题步骤 2.3

从

{cos}^{1} (θ)

$\cos^{1} (θ)$ 中分解出因数

cos (θ)

$\cos (θ)$ 。

cos (θ) (2 sin (θ)) + cos (θ) \cdot 1 = 0

$\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.4

从

cos (θ) (2 sin (θ)) + cos (θ) \cdot 1

$\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot 1$ 中分解出因数

cos (θ)

$\cos (θ)$ 。

cos (θ) (2 sin (θ) + 1) = 0

$\cos (θ) (2 \sin (θ) + 1) = 0$

cos (θ) (2 sin (θ) + 1) = 0

$\cos (θ) (2 \sin (θ) + 1) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于

0

$0$ ，则整个表达式将等于

0

$0$ 。

cos (θ) = 0

$\cos (θ) = 0$

2 sin (θ) + 1 = 0

$2 \sin (θ) + 1 = 0$

解题步骤 4

将

cos (θ)

$\cos (θ)$ 设为等于

0

$0$ 并求解

θ

$θ$ 。

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解题步骤 4.1

将

cos (θ)

$\cos (θ)$ 设为等于

0

$0$ 。

cos (θ) = 0

$\cos (θ) = 0$

解题步骤 4.2

求解

θ

$θ$ 的

cos (θ) = 0

$\cos (θ) = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的

θ

$θ$ 。

θ = arccos (0)

$θ = \arccos (0)$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

arccos (0)

$\arccos (0)$ 的准确值为

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ 。

θ = \frac{π}{2}

$θ = \frac{π}{2}$

θ = \frac{π}{2}

$θ = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从

2 π

$2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

θ = 2 π - \frac{π}{2}

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.4

化简

2 π - \frac{π}{2}

$2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 4.2.4.1

要将

2 π

$2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ 。

θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.4.2.1

组合

2 π

$2 π$ 和

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ 。

θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 4.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.4.3.1

将

2

$2$ 乘以

2

$2$ 。

θ = \frac{4 π - π}{2}

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 4.2.4.3.2

从

4 π

$4 π$ 中减去

π

$π$ 。

θ = \frac{3 π}{2}

$θ = \frac{3 π}{2}$

θ = \frac{3 π}{2}

$θ = \frac{3 π}{2}$

θ = \frac{3 π}{2}

$θ = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 4.2.5

求

cos (θ)

$\cos (θ)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.5.1

函数的周期可利用

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.5.2

使用周期公式中的

1

$1$ 替换

b

$b$ 。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

1

$1$ 之间的距离为

1

$1$ 。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.5.4

用

2 π

$2 π$ 除以

1

$1$ 。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

解题步骤 4.2.6

cos (θ)

$\cos (θ)$ 函数的周期为

2 π

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

2 π

$2 π$ 弧度将重复出现。

θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 5

将

2 sin (θ) + 1

$2 \sin (θ) + 1$ 设为等于

0

$0$ 并求解

θ

$θ$ 。

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解题步骤 5.1

将

2 sin (θ) + 1

$2 \sin (θ) + 1$ 设为等于

0

$0$ 。

2 sin (θ) + 1 = 0

$2 \sin (θ) + 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解

θ

$θ$ 的

2 sin (θ) + 1 = 0

$2 \sin (θ) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去

1

$1$ 。

2 sin (θ) = - 1

$2 \sin (θ) = - 1$

解题步骤 5.2.2

将

2 sin (θ) = - 1

$2 \sin (θ) = - 1$ 中的每一项除以

2

$2$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将

2 sin (θ) = - 1

$2 \sin (θ) = - 1$ 中的每一项都除以

2

$2$ 。

\frac{2 sin (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用

$\sin (θ)$ 除以

$1$ 。

$\sin (θ) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的

$θ$ 。

$θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

解题步骤 5.2.4

化简右边。

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解题步骤 5.2.4.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ 的准确值为

$- \frac{π}{6}$ 。

$θ = - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.2.5

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从

$2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和

$π$ 相加以求第三象限中的解。

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π$

解题步骤 5.2.6

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 5.2.6.1

从

$2 π + \frac{π}{6} + π$ 中减去

$2 π$ 。

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

解题步骤 5.2.6.2

得出的角

$\frac{7 π}{6}$ 是正角度，比

$2 π$ 小，且与

$2 π + \frac{π}{6} + π$ 共边。

$θ = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 5.2.7

求

$\sin (θ)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.7.1

函数的周期可利用

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.7.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.7.4

用

$2 π$ 除以

$1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.8

将

$2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 5.2.8.1

将

$2 π$ 加到

$- \frac{π}{6}$ 以求正角。

$- \frac{π}{6} + 2 π$

解题步骤 5.2.8.2

要将

$2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{6}{6}$ 。

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.2.8.3

合并分数。

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解题步骤 5.2.8.3.1

组合

$2 π$ 和

$\frac{6}{6}$ 。

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.2.8.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 5.2.8.4

化简分子。

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解题步骤 5.2.8.4.1

将

$6$ 乘以

$2$ 。

$\frac{12 π - π}{6}$

解题步骤 5.2.8.4.2

从

$12 π$ 中减去

$π$ 。

$\frac{11 π}{6}$

解题步骤 5.2.8.5

列出新角。

$θ = \frac{11 π}{6}$

解题步骤 5.2.9

$\sin (θ)$ 函数的周期为

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$2 π$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 6

最终解为使

$\cos (θ) (2 \sin (θ) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 7

将

$\frac{π}{2} + 2 π n$ 和

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ 合并为

$\frac{π}{2} + π n$ 。

$θ = \frac{π}{2} + π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

三角学 示例

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