三角学示例

\cos (\frac{π}{3})

$\cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 1

\cos (\frac{π}{3})

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 。

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

解题步骤 2

这是复数的三角函数形式，其中

| z |

$| z |$ 是模数，

θ

$θ$ 是复平面上形成的夹角。

z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 3

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当

z = a + b i

$z = a + b i$ 时，

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 4

代入

a = \frac{1}{2}

$a = \frac{1}{2}$ 和

b = 0

$b = 0$ 的实际值。

| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 5

求

| z |

$| z |$ 。

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解题步骤 5.1

对

0

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

0

$0$ 。

| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1}{2})}^{2}}

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 5.2

对

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

| z | = \sqrt{0 + \frac{1^{2}}{2^{2}}}

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 5.3

一的任意次幂都为一。

| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{2^{2}}}

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{2^{2}}}$

解题步骤 5.4

对

2

$2$ 进行

2

$2$ 次方运算。

| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{4}}

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{4}}$

解题步骤 5.5

将

0

$0$ 和

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ 相加。

| z | = \sqrt{\frac{1}{4}}

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4}}$

解题步骤 5.6

将

\sqrt{\frac{1}{4}}

$\sqrt{\frac{1}{4}}$ 重写为

\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ 。

| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 5.7

1

$1$ 的任意次方根都是

1

$1$ 。

| z | = \frac{1}{\sqrt{4}}

$| z | = \frac{1}{\sqrt{4}}$

解题步骤 5.8

化简分母。

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解题步骤 5.8.1

将

4

$4$ 重写为

2^{2}

$2^{2}$ 。

| z | = \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 5.8.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

| z | = \frac{1}{2}

$| z | = \frac{1}{2}$

| z | = \frac{1}{2}

$| z | = \frac{1}{2}$

| z | = \frac{1}{2}

$| z | = \frac{1}{2}$

解题步骤 6

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1}{2}})

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7

因为

\frac{0}{\frac{1}{2}}

$\frac{0}{\frac{1}{2}}$ 的反正切得出位于第一象限的一个角，所以其角度为

0

$0$ 。

θ = 0

$θ = 0$

解题步骤 8

代入

θ = 0

$θ = 0$ 和

| z | = \frac{1}{2}

$| z | = \frac{1}{2}$ 的值。

\frac{1}{2 (\cos (0) + i \sin (0))}

$\frac{1}{2 (\cos (0) + i \sin (0))}$

\cos (\frac{π}{3})

$\cos (\frac{π}{3})$

(

(

)

)

|

|

[

[

]

]

√

√





≥

≥





°

°













7

7

8

8

9

9













≤

≤





θ

θ













4

4

5

5

6

6

/

/

^

^

×

×

>

>





π

π













1

1

2

2

3

3

-

-

+

+

÷

÷

<

<



















,

,

0

0

.

.

%

%



=

=









[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$