三角学示例

$\cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 1

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 2

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 3

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 4

代入 $a = \frac{1}{2}$ 和 $b = 0$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 5

求 $| z |$ 。

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解题步骤 5.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 5.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 5.3

一的任意次幂都为一。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{2^{2}}}$

解题步骤 5.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{4}}$

解题步骤 5.5

将 $0$ 和 $\frac{1}{4}$ 相加。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4}}$

解题步骤 5.6

将 $\sqrt{\frac{1}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 5.7

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$| z | = \frac{1}{\sqrt{4}}$

解题步骤 5.8

化简分母。

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解题步骤 5.8.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 5.8.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = \frac{1}{2}$

$| z | = \frac{1}{2}$

$| z | = \frac{1}{2}$

解题步骤 6

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7

因为 $\frac{0}{\frac{1}{2}}$ 的反正切得出位于第一象限的一个角，所以其角度为 $0$ 。

$θ = 0$

解题步骤 8

代入 $θ = 0$ 和 $| z | = \frac{1}{2}$ 的值。

$\frac{1}{2 (\cos (0) + i \sin (0))}$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$