三角学示例

3 tan (x) sin (x) = sin (x)

$3 \tan (x) \sin (x) = \sin (x)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去

sin (x)

$\sin (x)$ 。

3 tan (x) sin (x) - sin (x) = 0

$3 \tan (x) \sin (x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 2

化简等式左边。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将

tan (x)

$\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

3 (\frac{sin (x)}{cos (x)}) \cdot sin (x) - sin (x) = 0

$3 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cdot \sin (x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 2.1.2

组合

3

$3$ 和

\frac{sin (x)}{cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

\frac{3 sin (x)}{cos (x)} \cdot sin (x) - sin (x) = 0

$\frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 2.1.3

乘以

\frac{3 sin (x)}{cos (x)} sin (x)

$\frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

组合

\frac{3 sin (x)}{cos (x)}

$\frac{3 \sin (x)}{\cos (x)}$ 和

sin (x)

$\sin (x)$ 。

\frac{3 sin (x) sin (x)}{cos (x)} - sin (x) = 0

$\frac{3 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

解题步骤 2.1.3.2

对

sin (x)

$\sin (x)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\frac{3 (sin (x) sin (x))}{cos (x)} - sin (x) = 0

$\frac{3 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

解题步骤 2.1.3.3

对

sin (x)

$\sin (x)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\frac{3 (sin (x) sin (x))}{cos (x)} - sin (x) = 0

$\frac{3 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

解题步骤 2.1.3.4

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

\frac{3 {sin (x)}^{1 + 1}}{cos (x)} - sin (x) = 0

$\frac{3 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

解题步骤 2.1.3.5

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

\frac{3 {sin}^{2} (x)}{cos (x)} - sin (x) = 0

$\frac{3 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

\frac{3 {sin}^{2} (x)}{cos (x)} - sin (x) = 0

$\frac{3 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

\frac{3 {sin}^{2} (x)}{cos (x)} - sin (x) = 0

$\frac{3 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

从

{sin}^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$ 中分解出因数

sin (x)

$\sin (x)$ 。

\frac{3 (sin (x) sin (x))}{cos (x)} - sin (x) = 0

$\frac{3 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

解题步骤 2.2.2

分离分数。

\frac{3 (sin (x))}{1} \cdot \frac{sin (x)}{cos (x)} - sin (x) = 0

$\frac{3 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

解题步骤 2.2.3

将

\frac{sin (x)}{cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成

tan (x)

$\tan (x)$ 。

\frac{3 (sin (x))}{1} \cdot tan (x) - sin (x) = 0

$\frac{3 (\sin (x))}{1} \cdot \tan (x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 2.2.4

用

3 (sin (x))

$3 (\sin (x))$ 除以

1

$1$ 。

3 sin (x) tan (x) - sin (x) = 0

$3 \sin (x) \tan (x) - \sin (x) = 0$

3 sin (x) tan (x) - sin (x) = 0

$3 \sin (x) \tan (x) - \sin (x) = 0$

3 sin (x) tan (x) - sin (x) = 0

$3 \sin (x) \tan (x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 3

从

3 sin (x) tan (x) - sin (x)

$3 \sin (x) \tan (x) - \sin (x)$ 中分解出因数

sin (x)

$\sin (x)$ 。

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解题步骤 3.1

从

3 sin (x) tan (x)

$3 \sin (x) \tan (x)$ 中分解出因数

sin (x)

$\sin (x)$ 。

sin (x) (3 tan (x)) - sin (x) = 0

$\sin (x) (3 \tan (x)) - \sin (x) = 0$

解题步骤 3.2

从

- sin (x)

$- \sin (x)$ 中分解出因数

sin (x)

$\sin (x)$ 。

sin (x) (3 tan (x)) + sin (x) \cdot - 1 = 0

$\sin (x) (3 \tan (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

解题步骤 3.3

从

sin (x) (3 tan (x)) + sin (x) \cdot - 1

$\sin (x) (3 \tan (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ 中分解出因数

sin (x)

$\sin (x)$ 。

sin (x) (3 tan (x) - 1) = 0

$\sin (x) (3 \tan (x) - 1) = 0$

sin (x) (3 tan (x) - 1) = 0

$\sin (x) (3 \tan (x) - 1) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于

0

$0$ ，则整个表达式将等于

0

$0$ 。

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

3 tan (x) - 1 = 0

$3 \tan (x) - 1 = 0$

解题步骤 5

将

sin (x)

$\sin (x)$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 5.1

将

sin (x)

$\sin (x)$ 设为等于

0

$0$ 。

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

解题步骤 5.2

求解

x

$x$ 的

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的

x

$x$ 。

x = arcsin (0)

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

arcsin (0)

$\arcsin (0)$ 的准确值为

0

$0$ 。

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

解题步骤 5.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从

180

$180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

x = 180 - 0

$x = 180 - 0$

解题步骤 5.2.4

从

180

$180$ 中减去

0

$0$ 。

x = 180

$x = 180$

解题步骤 5.2.5

求

sin (x)

$\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.5.1

函数的周期可利用

\frac{360}{| b |}

$\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

\frac{360}{| b |}

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 5.2.5.2

使用周期公式中的

1

$1$ 替换

b

$b$ 。

\frac{360}{| 1 |}

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

1

$1$ 之间的距离为

1

$1$ 。

\frac{360}{1}

$\frac{360}{1}$

解题步骤 5.2.5.4

用

360

$360$ 除以

1

$1$ 。

360

$360$

360

$360$

解题步骤 5.2.6

sin (x)

$\sin (x)$ 函数的周期为

360

$360$ ，所以函数值在两个方向上每隔

360

$360$ 度数重复出现。

x = 360 n, 180 + 360 n

$x = 360 n, 180 + 360 n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = 360 n, 180 + 360 n

$x = 360 n, 180 + 360 n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = 360 n, 180 + 360 n

$x = 360 n, 180 + 360 n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 6

将

3 tan (x) - 1

$3 \tan (x) - 1$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 6.1

将

3 tan (x) - 1

$3 \tan (x) - 1$ 设为等于

0

$0$ 。

3 tan (x) - 1 = 0

$3 \tan (x) - 1 = 0$

解题步骤 6.2

求解

x

$x$ 的

3 tan (x) - 1 = 0

$3 \tan (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上

1

$1$ 。

3 tan (x) = 1

$3 \tan (x) = 1$

解题步骤 6.2.2

将

3 tan (x) = 1

$3 \tan (x) = 1$ 中的每一项除以

3

$3$ 并化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将

3 tan (x) = 1

$3 \tan (x) = 1$ 中的每一项都除以

3

$3$ 。

\frac{3 tan (x)}{3} = \frac{1}{3}

$\frac{3 \tan (x)}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.2.1

约去

3

$3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 \tan (x)}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

用

$\tan (x)$ 除以

$1$ 。

$\tan (x) = \frac{1}{3}$

解题步骤 6.2.3

取方程两边的逆正切从而提取正切内的

$x$ 。

$x = \arctan (\frac{1}{3})$

解题步骤 6.2.4

化简右边。

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解题步骤 6.2.4.1

计算

$\arctan (\frac{1}{3})$ 。

$x = 18.43494882$

解题步骤 6.2.5

正切函数在第一和第三象限为正值。若要求第二个解，应从

$180$ 中减去参考角以求得第四象限中的解。

$x = 180 + 18.43494882$

解题步骤 6.2.6

将

$180$ 和

$18.43494882$ 相加。

$x = 198.43494882$

解题步骤 6.2.7

求

$\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.7.1

函数的周期可利用

$\frac{180}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{180}{| b |}$

解题步骤 6.2.7.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{180}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{180}{1}$

解题步骤 6.2.7.4

用

$180$ 除以

$1$ 。

$180$

解题步骤 6.2.8

$\tan (x)$ 函数的周期为

$180$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$180$ 度数重复出现。

$x = 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

$x = 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

$x = 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 7

最终解为使

$\sin (x) (3 \tan (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 360 n, 180 + 360 n, 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 8

合并答案。

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解题步骤 8.1

将

$360 n$ 和

$180 + 360 n$ 合并为

$180 n$ 。

$x = 180 n, 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 8.2

将

$18.43494882 + 180 n$ 和

$198.43494882 + 180 n$ 合并为

$18.43494882 + 180 n$ 。

$x = 180 n, 18.43494882 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

$x = 180 n, 18.43494882 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

三角学 示例

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