三角学示例

6 {sin}^{2} (θ) - 17 sin (θ) + 14 = - 4 sin (θ) + 9

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 = - 4 \sin (θ) + 9$

解题步骤 1

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上

$4 \sin (θ)$ 。

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 + 4 \sin (θ) = 9$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去

$9$ 。

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 + 4 \sin (θ) - 9 = 0$

解题步骤 2

化简等式左边。

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解题步骤 2.1

将

$- 17 \sin (θ)$ 和

$4 \sin (θ)$ 相加。

$6 \sin^{2} (θ) + 14 - 13 \sin (θ) - 9 = 0$

解题步骤 2.2

从

$14$ 中减去

$9$ 。

$6 \sin^{2} (θ) + 5 - 13 \sin (θ) = 0$

解题步骤 3

分组因式分解。

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解题步骤 3.1

重新排序项。

$6 \sin^{2} (θ) - 13 \sin (θ) + 5 = 0$

解题步骤 3.2

对于

$a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为

$a \cdot c = 6 \cdot 5 = 30$ 并且它们的和为

$b = - 13$ 。

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解题步骤 3.2.1

从

$- 13 \sin (θ)$ 中分解出因数

$- 13$ 。

$6 \sin^{2} (θ) - 13 \sin (θ) + 5 = 0$

解题步骤 3.2.2

把

$- 13$ 重写为

$- 3$ 加

$- 10$

$6 \sin^{2} (θ) + (- 3 - 10) \sin (θ) + 5 = 0$

解题步骤 3.2.3

运用分配律。

$6 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) - 10 \sin (θ) + 5 = 0$

解题步骤 3.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$6 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) - 10 \sin (θ) + 5 = 0$

解题步骤 3.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$3 \sin (θ) (2 \sin (θ) - 1) - 5 (2 \sin (θ) - 1) = 0$

解题步骤 3.4

通过因式分解出最大公因数

$2 \sin (θ) - 1$ 来因式分解多项式。

$(2 \sin (θ) - 1) (3 \sin (θ) - 5) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

$3 \sin (θ) - 5 = 0$

解题步骤 5

将

$2 \sin (θ) - 1$ 设为等于

$0$ 并求解

$θ$ 。

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解题步骤 5.1

将

$2 \sin (θ) - 1$ 设为等于

$0$ 。

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解

$θ$ 的

$2 \sin (θ) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上

$1$ 。

$2 \sin (θ) = 1$

解题步骤 5.2.2

将

$2 \sin (θ) = 1$ 中的每一项除以

$2$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将

$2 \sin (θ) = 1$ 中的每一项都除以

$2$ 。

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用

$\sin (θ)$ 除以

$1$ 。

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的

$θ$ 。

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

解题步骤 5.2.4

化简右边。

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解题步骤 5.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 的准确值为

$30$ 。

$θ = 30$

解题步骤 5.2.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从

$180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$θ = 180 - 30$

解题步骤 5.2.6

从

$180$ 中减去

$30$ 。

$θ = 150$

解题步骤 5.2.7

求

$\sin (θ)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.7.1

函数的周期可利用

$\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 5.2.7.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 5.2.7.4

用

$360$ 除以

$1$ 。

$360$

解题步骤 5.2.8

$\sin (θ)$ 函数的周期为

$360$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$360$ 度数重复出现。

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 6

将

$3 \sin (θ) - 5$ 设为等于

$0$ 并求解

$θ$ 。

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解题步骤 6.1

将

$3 \sin (θ) - 5$ 设为等于

$0$ 。

$3 \sin (θ) - 5 = 0$

解题步骤 6.2

求解

$θ$ 的

$3 \sin (θ) - 5 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上

$5$ 。

$3 \sin (θ) = 5$

解题步骤 6.2.2

将

$3 \sin (θ) = 5$ 中的每一项除以

$3$ 并化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将

$3 \sin (θ) = 5$ 中的每一项都除以

$3$ 。

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{5}{3}$

解题步骤 6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.2.1

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{5}{3}$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

用

$\sin (θ)$ 除以

$1$ 。

$\sin (θ) = \frac{5}{3}$

解题步骤 6.2.3

正弦函数的值域是

$- 1 \leq y \leq 1$ 。因为

$\frac{5}{3}$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 7

最终解为使

$(2 \sin (θ) - 1) (3 \sin (θ) - 5) = 0$ 成立的所有值。

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

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