三角学示例

6 {tan}^{2} (θ) - 10 tan (θ) + 1 = - 5 tan (θ)

$6 \tan^{2} (θ) - 10 \tan (θ) + 1 = - 5 \tan (θ)$

解题步骤 1

在等式两边都加上

5 tan (θ)

$5 \tan (θ)$ 。

$6 \tan^{2} (θ) - 10 \tan (θ) + 1 + 5 \tan (θ) = 0$

解题步骤 2

将

$- 10 \tan (θ)$ 和

$5 \tan (θ)$ 相加。

$6 \tan^{2} (θ) + 1 - 5 \tan (θ) = 0$

解题步骤 3

分组因式分解。

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解题步骤 3.1

重新排序项。

$6 \tan^{2} (θ) - 5 \tan (θ) + 1 = 0$

解题步骤 3.2

对于

$a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为

$a \cdot c = 6 \cdot 1 = 6$ 并且它们的和为

$b = - 5$ 。

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解题步骤 3.2.1

从

$- 5 \tan (θ)$ 中分解出因数

$- 5$ 。

$6 \tan^{2} (θ) - 5 \tan (θ) + 1 = 0$

解题步骤 3.2.2

把

$- 5$ 重写为

$- 2$ 加

$- 3$

$6 \tan^{2} (θ) + (- 2 - 3) \tan (θ) + 1 = 0$

解题步骤 3.2.3

运用分配律。

$6 \tan^{2} (θ) - 2 \tan (θ) - 3 \tan (θ) + 1 = 0$

解题步骤 3.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$6 \tan^{2} (θ) - 2 \tan (θ) - 3 \tan (θ) + 1 = 0$

解题步骤 3.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$2 \tan (θ) (3 \tan (θ) - 1) - (3 \tan (θ) - 1) = 0$

解题步骤 3.4

通过因式分解出最大公因数

$3 \tan (θ) - 1$ 来因式分解多项式。

$(3 \tan (θ) - 1) (2 \tan (θ) - 1) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$3 \tan (θ) - 1 = 0$

$2 \tan (θ) - 1 = 0$

解题步骤 5

将

$3 \tan (θ) - 1$ 设为等于

$0$ 并求解

$θ$ 。

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解题步骤 5.1

将

$3 \tan (θ) - 1$ 设为等于

$0$ 。

$3 \tan (θ) - 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解

$θ$ 的

$3 \tan (θ) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上

$1$ 。

$3 \tan (θ) = 1$

解题步骤 5.2.2

将

$3 \tan (θ) = 1$ 中的每一项除以

$3$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将

$3 \tan (θ) = 1$ 中的每一项都除以

$3$ 。

$\frac{3 \tan (θ)}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 \tan (θ)}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用

$\tan (θ)$ 除以

$1$ 。

$\tan (θ) = \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.3

取方程两边的逆正切从而提取正切内的

$θ$ 。

$θ = \arctan (\frac{1}{3})$

解题步骤 5.2.4

化简右边。

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解题步骤 5.2.4.1

计算

$\arctan (\frac{1}{3})$ 。

$θ = 18.43494882$

解题步骤 5.2.5

正切函数在第一和第三象限为正值。若要求第二个解，应从

$180$ 中减去参考角以求得第四象限中的解。

$θ = 180 + 18.43494882$

解题步骤 5.2.6

将

$180$ 和

$18.43494882$ 相加。

$θ = 198.43494882$

解题步骤 5.2.7

求

$\tan (θ)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.7.1

函数的周期可利用

$\frac{180}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{180}{| b |}$

解题步骤 5.2.7.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{180}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{180}{1}$

解题步骤 5.2.7.4

用

$180$ 除以

$1$ 。

$180$

解题步骤 5.2.8

$\tan (θ)$ 函数的周期为

$180$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$180$ 度数重复出现。

$θ = 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

$θ = 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

$θ = 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 6

将

$2 \tan (θ) - 1$ 设为等于

$0$ 并求解

$θ$ 。

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解题步骤 6.1

将

$2 \tan (θ) - 1$ 设为等于

$0$ 。

$2 \tan (θ) - 1 = 0$

解题步骤 6.2

求解

$θ$ 的

$2 \tan (θ) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上

$1$ 。

$2 \tan (θ) = 1$

解题步骤 6.2.2

将

$2 \tan (θ) = 1$ 中的每一项除以

$2$ 并化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将

$2 \tan (θ) = 1$ 中的每一项都除以

$2$ 。

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.2.1

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

用

$\tan (θ)$ 除以

$1$ 。

$\tan (θ) = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.3

取方程两边的逆正切从而提取正切内的

$θ$ 。

$θ = \arctan (\frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.4

化简右边。

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解题步骤 6.2.4.1

计算

$\arctan (\frac{1}{2})$ 。

$θ = 26.56505117$

解题步骤 6.2.5

正切函数在第一和第三象限为正值。若要求第二个解，应从

$180$ 中减去参考角以求得第四象限中的解。

$θ = 180 + 26.56505117$

解题步骤 6.2.6

将

$180$ 和

$26.56505117$ 相加。

$θ = 206.56505117$

解题步骤 6.2.7

求

$\tan (θ)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.7.1

函数的周期可利用

$\frac{180}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{180}{| b |}$

解题步骤 6.2.7.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{180}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{180}{1}$

解题步骤 6.2.7.4

用

$180$ 除以

$1$ 。

$180$

解题步骤 6.2.8

$\tan (θ)$ 函数的周期为

$180$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$180$ 度数重复出现。

$θ = 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

$θ = 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

$θ = 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 7

最终解为使

$(3 \tan (θ) - 1) (2 \tan (θ) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$θ = 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n, 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 8

合并答案。

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解题步骤 8.1

将

$18.43494882 + 180 n$ 和

$198.43494882 + 180 n$ 合并为

$18.43494882 + 180 n$ 。

$θ = 18.43494882 + 180 n, 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 8.2

将

$26.56505117 + 180 n$ 和

$206.56505117 + 180 n$ 合并为

$26.56505117 + 180 n$ 。

$θ = 18.43494882 + 180 n, 26.56505117 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

$θ = 18.43494882 + 180 n, 26.56505117 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

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