三角学示例

$6 \tan^{2} (θ) - 10 \tan (θ) + 1 = - 5 \tan (θ)$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $5 \tan (θ)$ 。

$6 \tan^{2} (θ) - 10 \tan (θ) + 1 + 5 \tan (θ) = 0$

解题步骤 2

将 $- 10 \tan (θ)$ 和 $5 \tan (θ)$ 相加。

$6 \tan^{2} (θ) + 1 - 5 \tan (θ) = 0$

解题步骤 3

分组因式分解。

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解题步骤 3.1

重新排序项。

$6 \tan^{2} (θ) - 5 \tan (θ) + 1 = 0$

解题步骤 3.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 6 \cdot 1 = 6$ 并且它们的和为 $b = - 5$ 。

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解题步骤 3.2.1

从 $- 5 \tan (θ)$ 中分解出因数 $- 5$ 。

$6 \tan^{2} (θ) - 5 \tan (θ) + 1 = 0$

解题步骤 3.2.2

把 $- 5$ 重写为 $- 2$ 加 $- 3$

$6 \tan^{2} (θ) + (- 2 - 3) \tan (θ) + 1 = 0$

解题步骤 3.2.3

运用分配律。

$6 \tan^{2} (θ) - 2 \tan (θ) - 3 \tan (θ) + 1 = 0$

解题步骤 3.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$6 \tan^{2} (θ) - 2 \tan (θ) - 3 \tan (θ) + 1 = 0$

解题步骤 3.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$2 \tan (θ) (3 \tan (θ) - 1) - (3 \tan (θ) - 1) = 0$

解题步骤 3.4

通过因式分解出最大公因数 $3 \tan (θ) - 1$ 来因式分解多项式。

$(3 \tan (θ) - 1) (2 \tan (θ) - 1) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 \tan (θ) - 1 = 0$

$2 \tan (θ) - 1 = 0$

解题步骤 5

将 $3 \tan (θ) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 5.1

将 $3 \tan (θ) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 \tan (θ) - 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $θ$ 的 $3 \tan (θ) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$3 \tan (θ) = 1$

解题步骤 5.2.2

将 $3 \tan (θ) = 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $3 \tan (θ) = 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 \tan (θ)}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 \tan (θ)}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用 $\tan (θ)$ 除以 $1$ 。

$\tan (θ) = \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.3

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $θ$ 。

$θ = \arctan (\frac{1}{3})$

解题步骤 5.2.4

化简右边。

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解题步骤 5.2.4.1

计算 $\arctan (\frac{1}{3})$ 。

$θ = 18.43494882$

解题步骤 5.2.5

正切函数在第一和第三象限为正值。若要求第二个解，应从 $180$ 中减去参考角以求得第四象限中的解。

$θ = 180 + 18.43494882$

解题步骤 5.2.6

将 $180$ 和 $18.43494882$ 相加。

$θ = 198.43494882$

解题步骤 5.2.7

求 $\tan (θ)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{180}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{180}{| b |}$

解题步骤 5.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{180}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{180}{1}$

解题步骤 5.2.7.4

用 $180$ 除以 $1$ 。

$180$

解题步骤 5.2.8

$\tan (θ)$ 函数的周期为 $180$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $180$ 度数重复出现。

$θ = 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $2 \tan (θ) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 6.1

将 $2 \tan (θ) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \tan (θ) - 1 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $θ$ 的 $2 \tan (θ) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 \tan (θ) = 1$

解题步骤 6.2.2

将 $2 \tan (θ) = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $2 \tan (θ) = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

用 $\tan (θ)$ 除以 $1$ 。

$\tan (θ) = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.3

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $θ$ 。

$θ = \arctan (\frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.4

化简右边。

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解题步骤 6.2.4.1

计算 $\arctan (\frac{1}{2})$ 。

$θ = 26.56505117$

解题步骤 6.2.5

正切函数在第一和第三象限为正值。若要求第二个解，应从 $180$ 中减去参考角以求得第四象限中的解。

$θ = 180 + 26.56505117$

解题步骤 6.2.6

将 $180$ 和 $26.56505117$ 相加。

$θ = 206.56505117$

解题步骤 6.2.7

求 $\tan (θ)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{180}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{180}{| b |}$

解题步骤 6.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{180}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{180}{1}$

解题步骤 6.2.7.4

用 $180$ 除以 $1$ 。

$180$

解题步骤 6.2.8

$\tan (θ)$ 函数的周期为 $180$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $180$ 度数重复出现。

$θ = 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

最终解为使 $(3 \tan (θ) - 1) (2 \tan (θ) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$θ = 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n, 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

合并答案。

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解题步骤 8.1

将 $18.43494882 + 180 n$ 和 $198.43494882 + 180 n$ 合并为 $18.43494882 + 180 n$ 。

$θ = 18.43494882 + 180 n, 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8.2

将 $26.56505117 + 180 n$ 和 $206.56505117 + 180 n$ 合并为 $26.56505117 + 180 n$ 。

$θ = 18.43494882 + 180 n, 26.56505117 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

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