三角学示例

$\tan (x) \sin (x) + 4 \sin (x) = 0$

解题步骤 1

化简等式左边。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x) + 4 \sin (x) = 0$

解题步骤 1.1.2

乘以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

组合 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) = 0$

解题步骤 1.1.2.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) = 0$

解题步骤 1.1.2.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) = 0$

解题步骤 1.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 4 \sin (x) = 0$

解题步骤 1.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) = 0$

解题步骤 1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) = 0$

解题步骤 1.2.2

分离分数。

$\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) = 0$

解题步骤 1.2.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{\sin (x)}{1} \cdot \tan (x) + 4 \sin (x) = 0$

解题步骤 1.2.4

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) \tan (x) + 4 \sin (x) = 0$

解题步骤 2

从 $\sin (x) \tan (x) + 4 \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 2.1

从 $4 \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) \tan (x) + \sin (x) \cdot 4 = 0$

解题步骤 2.2

从 $\sin (x) \tan (x) + \sin (x) \cdot 4$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (\tan (x) + 4) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

$\tan (x) + 4 = 0$

解题步骤 4

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 4.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = 180 - 0$

解题步骤 4.2.4

从 $180$ 中减去 $0$ 。

$x = 180$

解题步骤 4.2.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 4.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 4.2.5.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 4.2.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$x = 360 n, 180 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $\tan (x) + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\tan (x) + 4$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (x) + 4 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\tan (x) + 4 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$\tan (x) = - 4$

解题步骤 5.2.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- 4)$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

计算 $\arctan (- 4)$ 。

$x = - 75.96375653$

解题步骤 5.2.4

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $180$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - 75.96375653 - 180$

解题步骤 5.2.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 5.2.5.1

将 $360 °$ 加上 $- 75.96375653 - 180 °$ 。

$x = - 75.96375653 - 180 ° + 360 °$

解题步骤 5.2.5.2

得出的角 $104.03624346 °$ 是正角度且与 $- 75.96375653 - 180$ 共边。

$x = 104.03624346 °$

解题步骤 5.2.6

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{180}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{180}{| b |}$

解题步骤 5.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{180}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{180}{1}$

解题步骤 5.2.6.4

用 $180$ 除以 $1$ 。

$180$

解题步骤 5.2.7

将 $180$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 5.2.7.1

将 $180$ 加到 $- 75.96375653$ 以求正角。

$- 75.96375653 + 180$

解题步骤 5.2.7.2

从 $180$ 中减去 $75.96375653$ 。

$104.03624346$

解题步骤 5.2.7.3

列出新角。

$x = 104.03624346$

解题步骤 5.2.8

$\tan (x)$ 函数的周期为 $180$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $180$ 度数重复出现。

$x = 104.03624346 + 180 n, 104.03624346 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

最终解为使 $\sin (x) (\tan (x) + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 360 n, 180 + 360 n, 104.03624346 + 180 n, 104.03624346 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

合并答案。

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解题步骤 7.1

将 $360 n$ 和 $180 + 360 n$ 合并为 $180 n$ 。

$x = 180 n, 104.03624346 + 180 n, 104.03624346 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7.2

将 $104.03624346 + 180 n$ 和 $104.03624346 + 180 n$ 合并为 $104.03624346 + 180 n$ 。

$x = 180 n, 104.03624346 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

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