三角学示例

$2 \cot (x) \csc (x) = \frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}$

解题步骤 1

从右边开始。

$\frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}$

解题步骤 2

加上分数。

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解题步骤 2.1

要将 $\frac{1}{\sec (x) - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1}$ 。

$\frac{1}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}$

解题步骤 2.2

要将 $\frac{1}{\sec (x) + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$ 。

$\frac{1}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1} \cdot \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$

解题步骤 2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)$ 的形式。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{1}{\sec (x) - 1}$ 乘以 $\frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1}$ 。

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)} + \frac{1}{\sec (x) + 1} \cdot \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{\sec (x) + 1}$ 乘以 $\frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$ 。

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)} + \frac{\sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

解题步骤 2.3.3

重新排序 $(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)$ 的因式。

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)} + \frac{\sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\sec (x) + 1 + \sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

将 $\sec (x)$ 和 $\sec (x)$ 相加。

$\frac{2 \sec (x) + 1 - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

解题步骤 3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2 \sec (x) + 0}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

解题步骤 3.3

将 $2 \sec (x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 \sec (x)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

使用 FOIL 方法展开 $(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)$ 。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) (\sec (x) - 1) + 1 (\sec (x) - 1)}$

解题步骤 4.1.2

运用分配律。

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 1 + 1 (\sec (x) - 1)}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 1 + 1 \sec (x) + 1 \cdot - 1}$

解题步骤 4.2

化简并合并同类项。

$\frac{2 \sec (x)}{\sec^{2} (x) - 1}$

解题步骤 5

使用勾股恒等式。

$\frac{2 \sec (x)}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 6

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 6.1

对 $\sec (x)$ 使用倒数恒等式。

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 6.2

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (x)$ 。

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

解题步骤 6.3

对 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将分子乘以分母的倒数。

$2 \frac{1}{\cos (x)} \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.3

合并。

$\frac{2 {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.4

约去 ${\cos (x)}^{2}$ 和 $\cos (x)$ 的公因数。

$\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 8

将 $\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ 重写为 $2 \cot (x) \csc (x)$ 。

$2 \cot (x) \csc (x)$

解题步骤 9

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$2 \cot (x) \csc (x) = \frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}$ 是一个恒等式

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