三角学示例

$\csc (θ) = 5$ with $\frac{π}{2} < θ < π$

解题步骤 1

使用余割的定义求单位圆直角三角形的已知边。所在象限将决定每一个值的正负号。

$\csc (θ) = \frac{斜边}{对边}$

解题步骤 2

求单位圆三角形的邻边。由于斜边和对边已知，使用勾股定理即可求最后一条边。

$邻边 = - \sqrt{{斜边}^{2} - {对边}^{2}}$

解题步骤 3

替换方程中的已知值。

$邻边 = - \sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}$

解题步骤 4

化简根式内部。

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解题步骤 4.1

对 $\sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}$ 取反。

邻边 $= - \sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

邻边 $= - \sqrt{25 - {(1)}^{2}}$

解题步骤 4.3

一的任意次幂都为一。

邻边 $= - \sqrt{25 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 4.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

邻边 $= - \sqrt{25 - 1}$

解题步骤 4.5

从 $25$ 中减去 $1$ 。

邻边 $= - \sqrt{24}$

解题步骤 4.6

将 $24$ 重写为 $2^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 4.6.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

邻边 $= - \sqrt{4 (6)}$

解题步骤 4.6.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

邻边 $= - \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

解题步骤 4.7

从根式下提出各项。

邻边 $= - (2 \sqrt{6})$

解题步骤 4.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

邻边 $= - 2 \sqrt{6}$

解题步骤 5

求正弦值。

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解题步骤 5.1

使用正弦的定义求 $\sin (θ)$ 的值。

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

解题步骤 5.2

代入已知值。

$\sin (θ) = \frac{1}{5}$

解题步骤 6

求余弦值。

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解题步骤 6.1

使用余弦的定义求 $\cos (θ)$ 的值。

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

解题步骤 6.2

代入已知值。

$\cos (θ) = \frac{- 2 \sqrt{6}}{5}$

解题步骤 6.3

将负号移到分数的前面。

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

解题步骤 7

求正切值。

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解题步骤 7.1

使用正切的定义求 $\tan (θ)$ 的值。

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

解题步骤 7.2

代入已知值。

$\tan (θ) = \frac{1}{- 2 \sqrt{6}}$

解题步骤 7.3

化简 $\tan (θ)$ 的值。

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解题步骤 7.3.1

将负号移到分数的前面。

$\tan (θ) = - \frac{1}{2 \sqrt{6}}$

解题步骤 7.3.2

将 $\frac{1}{2 \sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$\tan (θ) = - (\frac{1}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

解题步骤 7.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 7.3.3.1

将 $\frac{1}{2 \sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

解题步骤 7.3.3.2

移动 $\sqrt{6}$ 。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

解题步骤 7.3.3.3

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

解题步骤 7.3.3.4

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

解题步骤 7.3.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.3.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

解题步骤 7.3.3.7

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 7.3.3.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.3.3.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.3.3.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.3.3.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.3.7.4.1

约去公因数。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.3.3.7.4.2

重写表达式。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 7.3.3.7.5

计算指数。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 7.3.4

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{12}$

解题步骤 8

求余切值。

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解题步骤 8.1

使用余切的定义求 $\cot (θ)$ 的值。

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

解题步骤 8.2

代入已知值。

$\cot (θ) = \frac{- 2 \sqrt{6}}{1}$

解题步骤 8.3

用 $- 2 \sqrt{6}$ 除以 $1$ 。

$\cot (θ) = - 2 \sqrt{6}$

解题步骤 9

求正割值。

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解题步骤 9.1

使用正割的定义求 $\sec (θ)$ 的值。

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

解题步骤 9.2

代入已知值。

$\sec (θ) = \frac{5}{- 2 \sqrt{6}}$

解题步骤 9.3

化简 $\sec (θ)$ 的值。

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解题步骤 9.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sec (θ) = - \frac{5}{2 \sqrt{6}}$

解题步骤 9.3.2

将 $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$\sec (θ) = - (\frac{5}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

解题步骤 9.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 9.3.3.1

将 $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

解题步骤 9.3.3.2

移动 $\sqrt{6}$ 。

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

解题步骤 9.3.3.3

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

解题步骤 9.3.3.4

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

解题步骤 9.3.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.3.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

解题步骤 9.3.3.7

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 9.3.3.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.3.3.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.3.3.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.3.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.3.7.4.1

约去公因数。

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.3.7.4.2

重写表达式。

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 9.3.3.7.5

计算指数。

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 9.3.4

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{12}$

解题步骤 10

这是各个三角函数值的解。

$\sin (θ) = \frac{1}{5}$

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{12}$

$\cot (θ) = - 2 \sqrt{6}$

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{12}$

$\csc (θ) = 5$

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