三角学示例

7 \tan (x) \sin (x) = - 6 \sin (x)

$7 \tan (x) \sin (x) = - 6 \sin (x)$

解题步骤 1

在等式两边都加上

6 \sin (x)

$6 \sin (x)$ 。

7 \tan (x) \sin (x) + 6 \sin (x) = 0

$7 \tan (x) \sin (x) + 6 \sin (x) = 0$

解题步骤 2

化简等式左边。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将

\tan (x)

$\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

7 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cdot \sin (x) + 6 \sin (x) = 0

$7 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cdot \sin (x) + 6 \sin (x) = 0$

解题步骤 2.1.2

组合

7

$7$ 和

\frac{\sin (x)}{\cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

\frac{7 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x) + 6 \sin (x) = 0

$\frac{7 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x) + 6 \sin (x) = 0$

解题步骤 2.1.3

乘以

\frac{7 \sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)

$\frac{7 \sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

组合

\frac{7 \sin (x)}{\cos (x)}

$\frac{7 \sin (x)}{\cos (x)}$ 和

\sin (x)

$\sin (x)$ 。

\frac{7 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + 6 \sin (x) = 0

$\frac{7 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + 6 \sin (x) = 0$

解题步骤 2.1.3.2

对

\sin (x)

$\sin (x)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\frac{7 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 6 \sin (x) = 0

$\frac{7 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 6 \sin (x) = 0$

解题步骤 2.1.3.3

对

\sin (x)

$\sin (x)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\frac{7 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 6 \sin (x) = 0

$\frac{7 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 6 \sin (x) = 0$

解题步骤 2.1.3.4

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

\frac{7 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 6 \sin (x) = 0

$\frac{7 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 6 \sin (x) = 0$

解题步骤 2.1.3.5

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

\frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 6 \sin (x) = 0

$\frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 6 \sin (x) = 0$

\frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 6 \sin (x) = 0

$\frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 6 \sin (x) = 0$

\frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 6 \sin (x) = 0

$\frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 6 \sin (x) = 0$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

从

\sin^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$ 中分解出因数

\sin (x)

$\sin (x)$ 。

\frac{7 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 6 \sin (x) = 0

$\frac{7 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 6 \sin (x) = 0$

解题步骤 2.2.2

分离分数。

\frac{7 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 6 \sin (x) = 0

$\frac{7 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 6 \sin (x) = 0$

解题步骤 2.2.3

将

\frac{\sin (x)}{\cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成

\tan (x)

$\tan (x)$ 。

\frac{7 (\sin (x))}{1} \cdot \tan (x) + 6 \sin (x) = 0

$\frac{7 (\sin (x))}{1} \cdot \tan (x) + 6 \sin (x) = 0$

解题步骤 2.2.4

用

7 (\sin (x))

$7 (\sin (x))$ 除以

1

$1$ 。

7 \sin (x) \tan (x) + 6 \sin (x) = 0

$7 \sin (x) \tan (x) + 6 \sin (x) = 0$

7 \sin (x) \tan (x) + 6 \sin (x) = 0

$7 \sin (x) \tan (x) + 6 \sin (x) = 0$

7 \sin (x) \tan (x) + 6 \sin (x) = 0

$7 \sin (x) \tan (x) + 6 \sin (x) = 0$

解题步骤 3

从

7 \sin (x) \tan (x) + 6 \sin (x)

$7 \sin (x) \tan (x) + 6 \sin (x)$ 中分解出因数

\sin (x)

$\sin (x)$ 。

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解题步骤 3.1

从

7 \sin (x) \tan (x)

$7 \sin (x) \tan (x)$ 中分解出因数

\sin (x)

$\sin (x)$ 。

\sin (x) (7 \tan (x)) + 6 \sin (x) = 0

$\sin (x) (7 \tan (x)) + 6 \sin (x) = 0$

解题步骤 3.2

从

6 \sin (x)

$6 \sin (x)$ 中分解出因数

\sin (x)

$\sin (x)$ 。

\sin (x) (7 \tan (x)) + \sin (x) \cdot 6 = 0

$\sin (x) (7 \tan (x)) + \sin (x) \cdot 6 = 0$

解题步骤 3.3

从

\sin (x) (7 \tan (x)) + \sin (x) \cdot 6

$\sin (x) (7 \tan (x)) + \sin (x) \cdot 6$ 中分解出因数

\sin (x)

$\sin (x)$ 。

\sin (x) (7 \tan (x) + 6) = 0

$\sin (x) (7 \tan (x) + 6) = 0$

\sin (x) (7 \tan (x) + 6) = 0

$\sin (x) (7 \tan (x) + 6) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于

0

$0$ ，则整个表达式将等于

0

$0$ 。

\sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

7 \tan (x) + 6 = 0

$7 \tan (x) + 6 = 0$

解题步骤 5

将

\sin (x)

$\sin (x)$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 5.1

将

\sin (x)

$\sin (x)$ 设为等于

0

$0$ 。

\sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

解题步骤 5.2

求解

x

$x$ 的

\sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的

x

$x$ 。

x = \arcsin (0)

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

\arcsin (0)

$\arcsin (0)$ 的准确值为

0

$0$ 。

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

解题步骤 5.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从

180

$180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

x = 180 - 0

$x = 180 - 0$

解题步骤 5.2.4

从

180

$180$ 中减去

0

$0$ 。

x = 180

$x = 180$

解题步骤 5.2.5

求

\sin (x)

$\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.5.1

函数的周期可利用

\frac{360}{| b |}

$\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

\frac{360}{| b |}

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 5.2.5.2

使用周期公式中的

1

$1$ 替换

b

$b$ 。

\frac{360}{| 1 |}

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

1

$1$ 之间的距离为

1

$1$ 。

\frac{360}{1}

$\frac{360}{1}$

解题步骤 5.2.5.4

用

360

$360$ 除以

1

$1$ 。

360

$360$

360

$360$

解题步骤 5.2.6

\sin (x)

$\sin (x)$ 函数的周期为

360

$360$ ，所以函数值在两个方向上每隔

360

$360$ 度数重复出现。

x = 360 n, 180 + 360 n

$x = 360 n, 180 + 360 n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = 360 n, 180 + 360 n

$x = 360 n, 180 + 360 n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = 360 n, 180 + 360 n

$x = 360 n, 180 + 360 n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 6

将

7 \tan (x) + 6

$7 \tan (x) + 6$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 6.1

将

7 \tan (x) + 6

$7 \tan (x) + 6$ 设为等于

0

$0$ 。

7 \tan (x) + 6 = 0

$7 \tan (x) + 6 = 0$

解题步骤 6.2

求解

x

$x$ 的

7 \tan (x) + 6 = 0

$7 \tan (x) + 6 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去

6

$6$ 。

7 \tan (x) = - 6

$7 \tan (x) = - 6$

解题步骤 6.2.2

将

7 \tan (x) = - 6

$7 \tan (x) = - 6$ 中的每一项除以

7

$7$ 并化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将

7 \tan (x) = - 6

$7 \tan (x) = - 6$ 中的每一项都除以

7

$7$ 。

\frac{7 \tan (x)}{7} = \frac{- 6}{7}

$\frac{7 \tan (x)}{7} = \frac{- 6}{7}$

解题步骤 6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.2.1

约去

7

$7$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

约去公因数。

\frac{7 \tan (x)}{7} = \frac{- 6}{7}

$\frac{7 \tan (x)}{7} = \frac{- 6}{7}$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

用

\tan (x)

$\tan (x)$ 除以

1

$1$ 。

\tan (x) = \frac{- 6}{7}

$\tan (x) = \frac{- 6}{7}$

\tan (x) = \frac{- 6}{7}

$\tan (x) = \frac{- 6}{7}$

\tan (x) = \frac{- 6}{7}

$\tan (x) = \frac{- 6}{7}$

解题步骤 6.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

\tan (x) = - \frac{6}{7}

$\tan (x) = - \frac{6}{7}$

\tan (x) = - \frac{6}{7}

$\tan (x) = - \frac{6}{7}$

\tan (x) = - \frac{6}{7}

$\tan (x) = - \frac{6}{7}$

解题步骤 6.2.3

取方程两边的逆正切从而提取正切内的

x

$x$ 。

x = \arctan (- \frac{6}{7})

$x = \arctan (- \frac{6}{7})$

解题步骤 6.2.4

化简右边。

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解题步骤 6.2.4.1

计算

\arctan (- \frac{6}{7})

$\arctan (- \frac{6}{7})$ 。

x = - 40.60129464

$x = - 40.60129464$

x = - 40.60129464

$x = - 40.60129464$

解题步骤 6.2.5

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从

180

$180$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

x = - 40.60129464 - 180

$x = - 40.60129464 - 180$

解题步骤 6.2.6

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 6.2.6.1

将

360 °

$360 °$ 加上

- 40.60129464 - 180 °

$- 40.60129464 - 180 °$ 。

x = - 40.60129464 - 180 ° + 360 °

$x = - 40.60129464 - 180 ° + 360 °$

解题步骤 6.2.6.2

得出的角

139.39870535 °

$139.39870535 °$ 是正角度且与

- 40.60129464 - 180

$- 40.60129464 - 180$ 共边。

x = 139.39870535 °

$x = 139.39870535 °$

x = 139.39870535 °

$x = 139.39870535 °$

解题步骤 6.2.7

求

\tan (x)

$\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.7.1

函数的周期可利用

\frac{180}{| b |}

$\frac{180}{| b |}$ 进行计算。

\frac{180}{| b |}

$\frac{180}{| b |}$

解题步骤 6.2.7.2

使用周期公式中的

1

$1$ 替换

b

$b$ 。

\frac{180}{| 1 |}

$\frac{180}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

1

$1$ 之间的距离为

1

$1$ 。

\frac{180}{1}

$\frac{180}{1}$

解题步骤 6.2.7.4

用

180

$180$ 除以

1

$1$ 。

180

$180$

180

$180$

解题步骤 6.2.8

将

180

$180$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 6.2.8.1

将

180

$180$ 加到

- 40.60129464

$- 40.60129464$ 以求正角。

- 40.60129464 + 180

$- 40.60129464 + 180$

解题步骤 6.2.8.2

从

180

$180$ 中减去

40.60129464

$40.60129464$ 。

139.39870535

$139.39870535$

解题步骤 6.2.8.3

列出新角。

x = 139.39870535

$x = 139.39870535$

x = 139.39870535

$x = 139.39870535$

解题步骤 6.2.9

\tan (x)

$\tan (x)$ 函数的周期为

180

$180$ ，所以函数值在两个方向上每隔

180

$180$ 度数重复出现。

x = 139.39870535 + 180 n, 139.39870535 + 180 n

$x = 139.39870535 + 180 n, 139.39870535 + 180 n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = 139.39870535 + 180 n, 139.39870535 + 180 n

$x = 139.39870535 + 180 n, 139.39870535 + 180 n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = 139.39870535 + 180 n, 139.39870535 + 180 n

$x = 139.39870535 + 180 n, 139.39870535 + 180 n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 7

最终解为使

\sin (x) (7 \tan (x) + 6) = 0

$\sin (x) (7 \tan (x) + 6) = 0$ 成立的所有值。

x = 360 n, 180 + 360 n, 139.39870535 + 180 n, 139.39870535 + 180 n

$x = 360 n, 180 + 360 n, 139.39870535 + 180 n, 139.39870535 + 180 n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 8

合并答案。

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解题步骤 8.1

将

360 n

$360 n$ 和

180 + 360 n

$180 + 360 n$ 合并为

180 n

$180 n$ 。

x = 180 n, 139.39870535 + 180 n, 139.39870535 + 180 n

$x = 180 n, 139.39870535 + 180 n, 139.39870535 + 180 n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 8.2

将

139.39870535 + 180 n

$139.39870535 + 180 n$ 和

139.39870535 + 180 n

$139.39870535 + 180 n$ 合并为

139.39870535 + 180 n

$139.39870535 + 180 n$ 。

x = 180 n, 139.39870535 + 180 n

$x = 180 n, 139.39870535 + 180 n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = 180 n, 139.39870535 + 180 n

$x = 180 n, 139.39870535 + 180 n$ ，对于任意整数

n

$n$

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