三角学示例

\tan (θ) = - \frac{3}{5}

$\tan (θ) = - \frac{3}{5}$ ,

\sec (θ) > 0

$\sec (θ) > 0$

解题步骤 1

The secant function is positive in the first and fourth quadrants. The tangent function is negative in the second and fourth quadrants. The set of solutions for

θ

$θ$ are limited to the fourth quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

解位于第四象限。

解题步骤 2

使用正切的定义求单位圆直角三角形的已知边。象限将决定每一个值的符号。

\tan (θ) = \frac{对边}{相邻}

$\tan (θ) = \frac{对边}{相邻}$

解题步骤 3

求单位圆三角形的斜边。由于已知相对边和相邻边，所以可以使用勾股定理求第三条边。

斜边 = \sqrt{{对边}^{2} + {相邻}^{2}}

$斜边 = \sqrt{{对边}^{2} + {相邻}^{2}}$

解题步骤 4

替换方程中的已知值。

斜边 = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(5)}^{2}}

$斜边 = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(5)}^{2}}$

解题步骤 5

化简根式内部。

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解题步骤 5.1

对

- 3

$- 3$ 进行

2

$2$ 次方运算。

斜边

= \sqrt{9 + {(5)}^{2}}

$= \sqrt{9 + {(5)}^{2}}$

解题步骤 5.2

对

5

$5$ 进行

2

$2$ 次方运算。

斜边

= \sqrt{9 + 25}

$= \sqrt{9 + 25}$

解题步骤 5.3

将

9

$9$ 和

25

$25$ 相加。

斜边

= \sqrt{34}

$= \sqrt{34}$

斜边

= \sqrt{34}

$= \sqrt{34}$

解题步骤 6

求正弦值。

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解题步骤 6.1

使用正弦的定义求

\sin (θ)

$\sin (θ)$ 的值。

\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

解题步骤 6.2

代入已知值。

\sin (θ) = \frac{- 3}{\sqrt{34}}

$\sin (θ) = \frac{- 3}{\sqrt{34}}$

解题步骤 6.3

化简

\sin (θ)

$\sin (θ)$ 的值。

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解题步骤 6.3.1

将负号移到分数的前面。

\sin (θ) = - \frac{3}{\sqrt{34}}

$\sin (θ) = - \frac{3}{\sqrt{34}}$

解题步骤 6.3.2

将

\frac{3}{\sqrt{34}}

$\frac{3}{\sqrt{34}}$ 乘以

\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}

$\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ 。

\sin (θ) = - (\frac{3}{\sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}})

$\sin (θ) = - (\frac{3}{\sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}})$

解题步骤 6.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 6.3.3.1

将

\frac{3}{\sqrt{34}}

$\frac{3}{\sqrt{34}}$ 乘以

\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}

$\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ 。

\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

解题步骤 6.3.3.2

对

\sqrt{34}

$\sqrt{34}$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

解题步骤 6.3.3.3

对

\sqrt{34}

$\sqrt{34}$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

解题步骤 6.3.3.4

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1 + 1}}

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1 + 1}}$

解题步骤 6.3.3.5

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{2}}

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{2}}$

解题步骤 6.3.3.6

将

{\sqrt{34}}^{2}

${\sqrt{34}}^{2}$ 重写为

34

$34$ 。

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解题步骤 6.3.3.6.1

使用

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

\sqrt{34}

$\sqrt{34}$ 重写成

34^{\frac{1}{2}}

$34^{\frac{1}{2}}$ 。

\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{{(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{{(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 6.3.3.6.3

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

2

$2$ 。

\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.6.4

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.6.4.1

约去公因数。

\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.6.4.2

重写表达式。

\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34}

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34}$

\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34}

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34}$

解题步骤 6.3.3.6.5

计算指数。

\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34}

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34}$

\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34}

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34}$

\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34}

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34}$

\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34}

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34}$

\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34}

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34}$

解题步骤 7

求余弦值。

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解题步骤 7.1

使用余弦的定义求

\cos (θ)

$\cos (θ)$ 的值。

\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

解题步骤 7.2

代入已知值。

\cos (θ) = \frac{5}{\sqrt{34}}

$\cos (θ) = \frac{5}{\sqrt{34}}$

解题步骤 7.3

化简

\cos (θ)

$\cos (θ)$ 的值。

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解题步骤 7.3.1

将

\frac{5}{\sqrt{34}}

$\frac{5}{\sqrt{34}}$ 乘以

\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}

$\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ 。

\cos (θ) = \frac{5}{\sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}

$\cos (θ) = \frac{5}{\sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$

解题步骤 7.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 7.3.2.1

将

\frac{5}{\sqrt{34}}

$\frac{5}{\sqrt{34}}$ 乘以

\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}

$\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ 。

\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

解题步骤 7.3.2.2

对

\sqrt{34}

$\sqrt{34}$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

解题步骤 7.3.2.3

对

\sqrt{34}

$\sqrt{34}$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

解题步骤 7.3.2.4

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1 + 1}}

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.3.2.5

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{2}}

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{2}}$

解题步骤 7.3.2.6

将

{\sqrt{34}}^{2}

${\sqrt{34}}^{2}$ 重写为

34

$34$ 。

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解题步骤 7.3.2.6.1

使用

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

\sqrt{34}

$\sqrt{34}$ 重写成

34^{\frac{1}{2}}

$34^{\frac{1}{2}}$ 。

\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{{(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{{(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.3.2.6.3

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

2

$2$ 。

\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.3.2.6.4

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.6.4.1

约去公因数。

\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.3.2.6.4.2

重写表达式。

\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34}

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34}$

\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34}

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34}$

解题步骤 7.3.2.6.5

计算指数。

\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34}

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34}$

\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34}

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34}$

\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34}

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34}$

\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34}

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34}$

\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34}

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34}$

解题步骤 8

求余切值。

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解题步骤 8.1

使用余切的定义求

\cot (θ)

$\cot (θ)$ 的值。

\cot (θ) = \frac{adj}{opp}

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

解题步骤 8.2

代入已知值。

\cot (θ) = \frac{5}{- 3}

$\cot (θ) = \frac{5}{- 3}$

解题步骤 8.3

将负号移到分数的前面。

\cot (θ) = - \frac{5}{3}

$\cot (θ) = - \frac{5}{3}$

\cot (θ) = - \frac{5}{3}

$\cot (θ) = - \frac{5}{3}$

解题步骤 9

求正割值。

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解题步骤 9.1

使用正割的定义求

\sec (θ)

$\sec (θ)$ 的值。

\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

解题步骤 9.2

代入已知值。

\sec (θ) = \frac{\sqrt{34}}{5}

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{34}}{5}$

\sec (θ) = \frac{\sqrt{34}}{5}

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{34}}{5}$

解题步骤 10

求余割值。

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解题步骤 10.1

使用余割的定义求

\csc (θ)

$\csc (θ)$ 的值。

\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

解题步骤 10.2

代入已知值。

\csc (θ) = \frac{\sqrt{34}}{- 3}

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{34}}{- 3}$

解题步骤 10.3

将负号移到分数的前面。

\csc (θ) = - \frac{\sqrt{34}}{3}

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{34}}{3}$

\csc (θ) = - \frac{\sqrt{34}}{3}

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{34}}{3}$

解题步骤 11

这是各个三角函数值的解。

\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34}

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34}$

\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34}

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{34}}{34}$

\tan (θ) = - \frac{3}{5}

$\tan (θ) = - \frac{3}{5}$

\cot (θ) = - \frac{5}{3}

$\cot (θ) = - \frac{5}{3}$

\sec (θ) = \frac{\sqrt{34}}{5}

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{34}}{5}$

\csc (θ) = - \frac{\sqrt{34}}{3}

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{34}}{3}$

三角学 示例

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